13.4课题学习 最短路径问题-讲练课件-2023-2024学年 人教版 八年级数学上册

第十三章 轴对称 课题学习 最短路径问题 数学（RJ）版八年级上册 ⁠ 单动点问题—— 两点在直线异侧 例1 如图，在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小． 解：如图，连接AB，AB与l的交点即为所求点P. 新课学习 1.如图，高速公路l的两侧有M，N两个城镇，要在高速公路上建一个出口P，使M，N两城镇到出口P的距离之和最短，请你找出点P的位置． 解：如图，连接MN，MN与l的交点即为所求点P. ⁠ 单动点问题——两点在直线同侧 例2 用三角板和直尺作图．如图，点A，B在直线l的同侧．试在直线l上取一点M，使MA＋MB的值最小．(不写作法，保留痕迹) 解：如图，点M即为所求． 2.【教材P85问题1改编】如图，牧童在A处放牛，他的家在B处，l为河流所在直线，晚上回家时要到河边让牛饮一次水，饮水的地点(用点P表示)选在何处，牧童所走的路程最短？ 解：如图所示，作点A关于直线l的对称点A′，连接BA′交直线l于点P，则点P即为所求． ⁠ 双动点问题 例3 如图，∠ABC内有一点P，在AB，BC边上各取一点P1，P2，求作△PP1P2，使△PP1P2的周长最小． 解：如图所示，分别作点P关于AB，BC的对称点N，M，连接MN，分别交AB，BC于点P1，P2，连接PP1，PP2，则△PP1P2即为所求的三角形． 3.【教材P93复习题T15改编】如图，已知牧马营地在P处，每天牧马人要赶着马群先到河边饮水，再带到草地吃草，然后回到营地，请你替牧马人设计出最短的放牧路线．(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图所示，最短的放牧路线为P→A→B→P. ⁠ 造桥选址问题 例4 如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，桥建在何处才能使从村庄A经过河到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由． 解：如图，作BB′⊥l1，且BB′等于河的宽度，连接AB′交l2于点C，作CD⊥l1于点D.则BD＋CD＋AC＝BB′＋AB′最短(把B平移到B′位置，把问题转化为B′与A位于直线l2异侧的问题)． 4.如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最短？ 解：如图，过点A作AA′⊥a，使AA′等于河的宽度．连接A′B交b于点D. 过点D作DC∥AA′交a于点C. 连接AC，则CD即为桥的位置． 1．如图，某村计划挖一条水渠，将不远处的河水引到农田(记作点O)，以便对农田进行灌溉，现设计了四条路线，其中最短的是(　B　) A．OA B．OB C．OC D．OD B 第1题图 基础巩固 2．在等边三角形ABC中，点D，E分别是BC，AC的中点，点P是线段AD上的一个动点，当△PCE的周长最小时，点P的位置在(　D　) A．A点处 B．D点处 C．AD的中点处 D．△ABC三条高的交点处 第2题图 D 3．如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，网格中有一个格点三角形ABC(即三角形的顶点都在格点上)．在直线l上找一点P，使得PA＋PB的和最小． 解：如图，点P即为所求． 4．如图，∠XOY内有一点P，请在射线OX上找出一点M，在射线OY上找出一点N，使PM＋MN＋NP最短． 解：作点P关于OX的对称点P1，关于OY的对称点P2)，连接P1P2，交OX于点M，交OY于点N，连接PM，PN，此时PM＋MN＋NP最短． 5．【拓展题】如图，在平面直角坐标系中，点O为原点，点A，C，E的坐标分别为(0，4)，(8，0)，(8，2)，点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，请在x轴上找出点P′，Q′，使四边形AP′Q′E的周长最小． 解：如图，点P′，Q′即为所求． ⁠三角形中边与角之间的不等关系 例 (2022·长沙一模)教材第84页探究了“三角形中边与角之间的不等关系”，部分原文如下：如图1，在△ABC中，如果AB＞AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB上的D点，折线交BC于点E，则∠C＝∠ADE.∵∠ADE＞∠B(想一想为什么)，∴∠C＞∠B. 实验与探究 (1)请证明上文中的∠ADE＞∠B； 证明：(1)由三角形的内角和定理，得∠ADE＝180°－∠DAE－∠AED，∠B＝180°－∠DAE－∠AED－∠BED. ∴∠B＝∠ADE－∠BED. ∴∠ADE＞∠B. (2)如图2，在△ABC中，如果∠ACB＞∠B，能否证明AB＞AC？小敏同学提供了一种方法：将△ABC折叠，使点B落在点C上，折痕交AB于点F，交BC于点G，再运用三角形三边关系即可证明，请你按照小敏的方法