2023-2024学年人教版九年级上册数学期末专题训练：圆的证明

2023-2024学年人教版九年级上册数学期末 专题训练： 圆的证明 1．如图，是的直径，C为上一点，和过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E，，． (1)求证：平分； (2)求的半径． 2．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长，相交于点，的平分线交于点． (1)求证：． (2)求证：． 3．如图，点O为线段的中点，点C为线段上一点（不与O，A重合），以点O为圆心，为半径作圆O交线段于点D、，，，连接．    (1)求证：； (2)当与圆O相切时，求的长度． 4．如图，内接于，是的直径，过点作的切线，连接，过点O作，垂足为，交于点．    (1)求证：； (2)若点到的距离为，，求直径的长． 5．如图，在中，，以为直径作，交于点，连接，过点作，垂足为．    (1)求证：； (2)求证：为的切线． 6．如图，是的外接圆，是的直径，点B是的中点，过点B的切线与的延长线交于点D．    (1)求证：； (2)若的半径为6，，求的长． 7．已知：的两条弦，相交于点M，且．    (1)如图1，连接.求证：． (2)如图2.若．在上取一点E，使，交于点F，连接、．判断与是否相等，并说明理由． 8．如图，为的直径，交于点C，D为上一点，延长交于点E，延长至F，使，连接． (1)求证：为的切线； (2)若且，求的半径． 9．如图，为的直径，点C、D为上两点，且点D为的中点，连接、、，过点D作于点F，过点D作的切线，交的延长线于点E． (1)求证：； (2)若，，求的长． 10．如图，是上的两点，过作的垂线交于，交于，交的切线于． (1)求证：； (2)当，时，求及的长． 11．是的直径，弦，垂足为H，连接，，． (1)如图1，连接，，若H是的中点，求证：四边形是菱形． (2)如图2，作的平分线，交于点E，求证：E为的中点． (3)如图3，若的半径是1，，求点O到弦的距离． 12．如图，是的直径，是弦，，于点，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 13．如图，是的直径，弦于点E，连接、， (1)求证：； (2)作于点F，若的半径为5，，求的长． 14．已知矩形，    图1                                        图2 (1)如图1，若点B，D在以O为圆心，为半径的圆上，，求证：； (2)如图2，点E，F分别在边上，若点D，点C关于直线对称的点分别为点B和点P，判断直线与过A，E，F三点的圆的位置关系，并说明理由 15．如图，内接于，弦、相交于点，．    (1)如图1，求证：为的直径； (2)如图2，过点作，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，与相交于点，连接并延长交于点，连接，沿所在直线作劣弧的轴对称图形经过点，，，求线段的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：如图，连接． ∵和过点C的切线互相垂直，垂足为D， ∴． ∵是过点C的切线， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 即平分． （2）解：如图，过点O作，垂足为F． ∴，． 由（1）知，，， ∴四边形是矩形． ∴． 在中，， ∴． 即的半径为． 2．（1）证明：∵点是的内心， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵点是的内心， ∴， ∵， 即， ∴． 3．（1）证明：∵为的中点， ， ， ∵， ， ∵，， ∴， ； （2）解：如图， ∵与圆相切， ，， ∵， ， ， ∵， ， ， ． 4．（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作于点，则，    ∵，， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴直径的长为． 5．（1）解：证明：为直径， ， ， ； （2）证明：连接，如图， ，， 为的中位线， ， ， ， 为的切线．    6．(1）证明：连接OB，如图所示：    ∵是⊙O的切线， ∴， ∴． ∵点B是的中点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即． （2）解：过点O作，如图所示：    ∵， ∴. ∵， ∴四边形为矩形， ∴ ∴． 7．（1）证明：， 即， ， ， ． （2）与相等．理由如下： 解：连接，如图，    ， ， ， ， ， ， ． 8．（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴， ∵是半径， ∴为的切线； （2）解：设的半径，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 解得，或（舍去）， ∴的半径为3． 9．（1）证明：连接， ∵点D为的中点， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为的半径，为的切线， ∴， 即：， ∴． （2）解：∵ 由勾股定理得：， ∵四边形内接于， ∴， 又， ∴， 由（1）可知：，