2023-2024学年人教版九年级上册数学期末专题训练：圆的切线证明

2023-2024学年人教版九年级上册数学期末专题训练： 圆的切线证明 1．如图，是的外接圆，是的直径，．    (1)求证：是的切线； (2)若，垂足为交于点；求证：是等腰三角形． 2．如图，在中，，以为直径的半圆交于点，点是边和半圆的公共点，且满足．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长度． 3．如图，在中，，以为直径作，交于，过作，交于． (1)求证：是的切线； (2)连接，如果的半径为，，求的长； (3)在（2）的条件下，求的面积． 4．如图，在中，为的直径，为弦、，．    (1)求的度数； (2)在图（1）中，P为直径的延长线上一点，且，求证：为的切线． 5．如图，为的直径，弦，垂足为点，直线与延长线交于点，且．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，求的半径． 6．如图，中，，过两点，且是的切线，连接交劣弧于点．    (1)证明：是的切线； (2)若，，求的半径； 7．如图，已知线段，以为直径作，在上取一点C，连接．延长至点D，连接，满足． (1)求证：为切线； (2)若，求的长（结果保留）． 8．已知：如图，过正方形的顶点，且与边相切于点．点是与的交点，连接，，，点是延长线上一点，连接，且． (1)求证：是的切线； (2)如果正方形边长为，求的半径． 9．如图，为四边形的外接圆，若、，延长至点F，连接并延长至点E，恰好使得．    (1)证明：为的切线 (2)连接，若的半径为4，，求的长 10．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 11．已知是的直径，点D是延长线上一点，，是的弦，．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，垂足为M，的半径为10，求的长． 12．如图，为的直径，C为上一点，P为延长线上的一点，使得．    (1)求证：是的切线． (2)F为上一点，且经过的中点E． ①求证：； ②若，，求的半径长． 13． 如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F．连接并延长交于点M．    (1)求证：直线是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 14．如图为的直径，且，点是弧上的一动点（不与，重合），过点作的切线交的延长线于点，点是的中点，连接．    (1)若，求线段的长度； (2)求证：是的切线； (3)当时，求图中阴影部分面积． 15．如图，为⊙的直径，为⊙的弦，为⊙的的切线，． （1）求证：是⊙的切线； （2）点是优弧上一动点 ①连接、、，当 时，四边形为菱形； ②连接、，当，时，则的周长最大值为 ． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明：连接，    ， ， 为圆的直径， ， ， 又， ， ， 又点在圆上， 是的切线； （2）证明：， ， ， ， ， 又， ， 是等腰三角形． 2．（1）证明：连接，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即：，又为的半径， 为的切线；    （2）解：设的半径为， 则， 由（1）可知：， 为直角三角形， 又， ， ， ， ， 在中，，， ， 为等边三角形， ． 3．(1）证明：如图， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ，即， 是的切线． （2）解：如图所示，连接， 是直径， ，即， 在中， ，， ， ， ， ∴． （3）解：由（2）可知，， ， ， 是中点，即是的中线， ． 4．（1）解：在中，，则为等腰三角形， ∵， ∴为等边三角形， ∴； （2）证：如图所示，作于点，    由（1）知为等边三角形， ∵， ∴，， ∵，， ∴，即：， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点为半径的外端点， ∴为的切线． 5．（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴直线是的切线； （2）解：设的半径为，连接，    ∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 即的半径为． 6．（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为， 则， 在中，， 即， 解得：， 故的半径为. 7．（1）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又为的半径， ∴为切线； （2）解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长． 8．（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴是的直径， ∵，， ∴， ∴，即 ∴是的切线． （2）解：如图所示，连接， ∵与相切于点，即是的切线， ∴，且（圆的半径相等）， 过作于，则四边形是矩形，， ∴， ∵，即分别是的中点， ∴， 设， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴． 9．（1）证明：连接，    ∵，， ∴，， ∴， ， ∴为半圆，