2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，在中，，以为直径的分别交于点，过点作使得，交的延长线于点． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 2．如图，为的直径，点是上方上异于的点，点是下方的中点，过点作交的延长线于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，求图中阴影部分的面积（结果保留）． 3．如图，分别平分，的延长线和的外接圆相交于点D，过D作直线． (1)若，则 °， °； (2)求证：是的切线； 4．如图，在中，，以边为直径作交边于点，过点作于点，、的延长线交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 5．如图，是的直径，直线经过上的点，于点，交于，平分．    (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求的长． 6．如图，中，，的平分线交于点，以为直径的恰好经过点．    (1)求证：是的切线： (2)若，，求的半径． 7．如图，是的直径，C是上一点，D是弧的中点，E为延长线上一点，且，与交于点H，与交于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，，求直径的长． 8．如图，为的直径，点D为O上一点，E为的中点，点C在的延长线上，且．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 9．如图，在中，，平分交于点D，O为上一点，经过点A，D的分别交，于点E，F．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 10．如图，是的直径，是的弦，点在的延长线上，且，．    (1)求证是的切线． (2)若，求图中阴影部分的面积． 11．已知： 如图，的半径为5，D是半圆弧上一动点 （不与重合），以为邻边作平行四边形． (1)如图1，当时，求证：直线是的切线； (2)如图2，当时，边与交于另一点E，求的长． 12．如图，在中，，以为直径的分别与、交于点D、E，过点D作，垂足为点F． (1)求证：直线为的切线； (2)若的半径为4，，求阴影部分的面积． 13．如图，为的直径，点C在延长线上，点D在上，连于E交于F，．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 14．如图，在中，以为直径的交于点，与的延长线交于点，，，垂足为点．    (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径． 15．如图， 为 的直径，C、E 为上的点，过C 点作 于D 点，且平分．    (1)求证： 为 的切线； (2)若，半径，求的长． 16．如图，在中，，以斜边上的中线为直径作与交于点E，与交于点F，过F作，垂足为H．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为，，求的长． 17．如图，是的外接圆，是的直径，于点，是延长线上一点，且． (1)求证：是的切线； (2)连接并延长，交于点，交于点，连接若的半径为，，求和的长． 18．如图，中，以为直径作，交于点 D，E为弧上一点，连接，交于点F．    (1)若，求证：为的切线； (2)若，求证：平分． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据等腰三角形的三线合一得到，则有，即可证明结论； （2）连接，根据三线合一得到，根据勾股定理先求出，然后求出，然后根据求出长，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵为直径的， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴是的切线； （2）解：连接， ∵，， ∴， ∵为直径的， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 【点睛】本题考查切线的判定，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是利用相似三角形的线段成比例以及勾股定理求线段的长度． 2．(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了切线的判定、圆周角定理、勾股定理、三角形的面积公式、扇形的面积公式等，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）连接，由，得，而得到，由平行线的性质可得，从而即可得证； （2）由圆周角定理可得，由勾股定理可得，从而得到，再由进行计算即可． 【详解】（1）证明：连接， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， 是的半径，且， 是的切线； （2）解：为的直径， ， ，， ， ， 由（1）得， ， 图中阴影部分的面积是． 3．(1)70，125 (2)见解析 【分析】本题考查了切线的判定，圆周角定理． （1）根据圆周角定理求出，根据三角形角平分线的定义以及三角形内角和定理求出； （2）连接交于，根据圆周角定理和切线的判定即可证明． 【详解】（1）解：由圆周角定理得，， ， ， ∵分别平分， ，， ， 故答案为：70，125； （2）证明：连接交于，如图， ∵平分， 即， ∴， ， ∴， ∵， ， 是的切线； 4．(1)见解析 (2)