专题1.2 向量的加减、数乘运算（九个重难点突破）-2023-2024学年高一数学重难点突破及混淆易错规避（人教A版2019必修第二册）

专题1.2向量的加减、数乘运算 知识点1向量的加法 三角形法则：已知非零向量,在平面内任取一点,作,再作向量,则向量叫做与的和,记作 平行四边形法则：已知不共线的两个向量,在平面内任取一点,以同一点为起点的两个已知向量,以为邻边作,则就是与的和 , 规定：零向量与任意向量的和,都有 运算律：①交换律：；②结合律： 知识点2相反向量 1.定义:与向量长度相等、方向相反的向量,叫做的相反向量,记作,与互为相反向量, 3.性质：①；②若互为相反向量,则； ③的相反向量是 知识点3向量的减法 1.向量的减法的定义:向量加上的相反向量,叫做与的差,即,求两个向量差的运算叫做向量的减法. 2.运算法则:在平面内取一点O,作,则. 3.几何意义表示从向量的终点指向的终点的向量. 4.向量减法的两个重要结论: ①如果把两个向量的始点放在一起,则这两个向量的差是以减向量的终点为始点,被减向量的终点为终点的向量； ②一个向量等于它的终点相对于点的位置向量减去它的始点相对于点的位置向量或简记“终点向量减去始点向量”. 重难点1向量的加法、减法法则 1．如图，在平行四边形中，（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）    A． B． C． D． 3．如图，在平行四边形中，，，则可以表示为（    ）      A． B． C． D． 4．如图，在中，设对角线，，试用、表示、．    5．如图，已知向量，，不共线，求作向量．    6．如图，已知向量，，，，作出向量.    重难点2向量的加法运算 7．化简 （    ） A． B． C． D． 8．（多选）下列四个等式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）下列各式中结果一定为零向量的是（    ） A． B． C． D． 10．= ， ． 11．化简下列各式: (1) (2) 重难点3向量的减法运算 12． （　　） A． B． C． D． 13．下列各式中不能化简为的是（    ） A． B． C． D． 14．若，，则 . 15．化简： ； ； . 16．化简下列各向量的表达式： (1)； (2)； (3)； 重难点4向量加减法运算的应用 17．已知向量满足，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 18．已知向量满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 19．在矩形中，，，则等于（    ） A． B． C．3 D．4 20．已知是四边形所在平面上任一点，且．则四边形一定为（    ） A．菱形 B．梯形 C．平行四边形 D．矩形 21．已知，，，，，则 . 22．如图，无弹性的细绳OA，OB的一端分别固定在A，B处，同样的细绳OC下端系着一个称盘，且使得，试分析OA，OB，OC三根绳子受力的大小，并判断哪根绳受力最大.      知识点4向量的数乘运算 1.定义:规定实数与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度和方向规定如下: ①; ②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时， 2.运算律:设为任意实数,则有①；②； ③ 特别地,有. (3)向量的线性运算:向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.对于任意向量以及任意实数恒有. 知识点5共线向量定理 1.共线向量定理的内容：向量与共线的充要条件是存在唯一一个实数,使. 2.三点共线向量表示的两个结论 结论1：如图1，点共线的充要条件是存在唯一实数，使得. 结论2：设是平面内的任意一点，点A，B，C共线的充要条件是存在唯一实数使得. 重难点5向量的数乘运算 23．已知平面内的两个非零向量，满足，则与（    ） A．相等 B．方向相同 C．垂直 D．方向相反 24．设是两两不共线的向量，且向量，，则（   ） A． B． C． D． 25．化简为（    ） A． B． C． D． 26．若，则 ． 27．在中，点为边的中点，若，则实数的值为 . 28．求下列未知向. (1)； (2)； (3). 重难点6共线向量定理的应用 29．已知向量，，中任意两个都不共线，并且与共线，与共线，那么等于（　　） A． B． C． D． 30．已知向量不共线，，，，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，C，D三点共线 C．A，B，D三点共线 D．B，C，D三点共线 31．已知向量不共线，，，，则实数 ． 32．已知平面向量，，则“”是“存在，使得”的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 33．已