第三章 圆 回归与思考（2）-定弦定角课件2023-2024学年北师大版九年级数学下册

“定弦定角”问题探究 1 发现和提出问题 1.如左图，等边三角形ABC中，点D、E分别在AC、BC上运动，且始终满足AE=CD，连接AD、BE且交于点P，点D与点E的过程中，求∠APE的度数。 2.如右图，等腰直角△CAB与△DAE有着共同的顶点A，△DAE绕着点A逆时针旋转，连接CD、BE，CD与BE相交于点P，在△DAE旋转的过程中，求证：BE⊥CD. 问题变式：增加AB=BC=AC=4，求CP的最小值？ 问题变式：增加AB=2，求AP的最大值？ 分析与解决问题 AB=4,∠APB=120° BC=2,∠CPB=90° 已知△ABC的边AB的长和∠ACB的大小 分析与解决问题 分析与解决问题 概念归纳 通过上面的分析，我们可以看到，线段AB为圆O的弦，∠ACB为AB的对角，线段AB和∠ACB的值不变，所以我们称这样的问题为“定弦定角问题”。 那么△ABC的外接圆即圆O的半径如何求呢?我们再来看看，点C在运动中，图中的量还有哪些是不变的呢？可以看到：点O固定不变，O在线段AB的垂直平分线上，即OA、OB的长度不变，即△AOB是等腰三角形，∠AOB=2∠AOD，AB=2AD，由圆心角和圆周角的关系得：∠AOB=2∠ACB，而所以得到：∠ACB=∠AOD 概念归纳 我们加一个点D，点∠ADB同样为弦AB的对角，此时，可以分为两种情况，即与点C同侧或者异侧，异侧时，可以得到∠ADB+∠ACB=180°则点A、B、C、D四点共圆；同侧时，∠ADB=∠ACB，同样可以得到点A、B、C、D四点共圆。 分析与解决问题 变式1：如左图，等边三角形ABC中，点D、E分别在AC、BC上运动，且始终满足AE=CD，连接AD、BE且交于点P，点D与点E的过程中，AB=BC=AC=4，求CP的最小值？ 变式2：如右图，等腰直角△CAB与△DAE有着共同的顶点A，△DAE绕着点A逆时针旋转，连接CD、BE，CD与BE相交于点P，在△DAE旋转的过程中， AB=2，求AP的最大值？ 1.如图,已知四边形ABCD是边长为4的正方形，E是CD上一动点，将△ADE沿直线AE折叠后，点D落在点F处，DF的延长线交BC于点G，AE与DG交于点O，连接OC，则OC的最小值为___________ 变式训练1 变式训练2 2020龙华二模试题 例题分析 例1：（2019南京）在△ABC中，AB＝4，∠C＝60°，∠A＞∠B，则BC的长的取值范围是　 　． 例题分析 例2：（2019•资阳改编）如图，抛物线 的顶点 M的坐标为（1，4），过点A（3，2），且与直线 交于B、C两点，点C的坐标为(0， ) ．在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 2.如图,在平面直角坐标系中,点A(-2,0),点B(4,0),点P为y轴上一个动点，连接PA、PB，点P运动到何处时，使得∠APB=60°，请求出点P坐标. 变式练习1 3.如图，已知抛物线x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，连接AC、BC.若,求抛物线的解析式. 巩固练习2 例题分析 例3：（2019•武汉）如图，AB是⊙O的直径，M、N是（异于A、B）上两点，C是上一动点，∠ACB的角平分线交⊙O于点D，∠BAC的平分线交CD于点E．当点C从点M运动到点N时，则C、E两点的运动路径长的比是（　　） 变式练习1 （2019•淄博改编）如图，顶点为M的抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值． 巩固练习 （2019•陕西）问题提出：（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形； 问题探究： （2）如图2，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离； 巩固练习 （2019•陕西）问题解决：（3）如图，有一座塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的景区BCDE．根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE＝120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由．（塔A的占地面积忽略不计） 反思总结 我们可以将解题方法提炼如下： 第四步：由题目中具体的问题进行求解. 第一步：可以先