重庆市缙云教育联盟2024届高三高考第一次诊断性检测数学试卷

2024CEE-01 数学 重 庆 缙 云 教 育 联 盟 2024年高考第一次诊断性检测 数学试卷 考生须知: 1.答题前,考生务必用黑色签字笔将自己的姓名、准考证号、座位号在答题卡上填写清楚; 2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,在试卷上作答无效; 3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回; 4.全卷共6页,满分150分,考试时间120分钟。 一、选择题:本题共7小题,每小题5分,共35分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.“”是“”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.,则的共轭复数等于( ) A. B. C. D. 3.已知函数满足:,,成立,且,则( ) A. B. C. D. 4.已知是两条不同直线,是三个不同平面,则下列说法正确的是( ) A.则 B.则 C.则 D.则 5.已知,,则( ) A. B. C. D. 6.已知函数,则方程在区间上的所有实根之和为( ) A.0 B.3 C.6 D.12 7.已知,,,,,则的最大值为( ) A. B.4 C. D. 二、多项选择题:本题共3小题,每小题5分,共15分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求的。全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的,少选择1个正确选项得3分,少选择2个正确选项得1分,否则得0分。 8.已知,则下列说法正确的是( ) A. B. C. D. E. 9.已知为坐标原点,抛物线的焦点为F,A,B是抛物线上两个不同的点,为线段AB的中点,则( ) A.若,则到准线距离的最小值为3 B.若,且,则到准线的距离为 C.若,且,则到准线的距离为 D.若AB过焦点,,为直线AB左侧抛物线上一点,则面积的最大值为 E.若,则到直线AB距离的最大值为4 10.德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著,以其命名的函数被称为狄利克雷函数,其中为实数集,为有理数集,则以下关于狄利克雷函数 的结论中,正确的是( ) A.函数 为偶函数 B.函数 的值域是 C.对于任意的 ,都有 D.在 图象上不存在不同的三个点 ,使得 为等边三角形 E.在 图象存在不同的三个点 ,使得 为等边三角形 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。 11.已知为圆:上一点,则的取值范围是 . 12.已知二项式的展开式中第二、三项的二项式系数的和等于45,则展开式的常数项为 . 13.椭圆上的点P到直线的最大距离是 ;距离最大时点P坐标为 . 14.我国古代数学著作《九章算术》中研究过一种叫“鳖(bi )臑(n o)”的几何体,它指的是由四个直角三角形围成的四面体,那么在一个长方体的八个顶点中任取四个,所组成的四面体中“鳖臑”的个数是 . 四、解答题:本题共6小题,共80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(10分) 记的内角的对边分别为.已知. (1)求; (2)若为的中点,且,求. 16.(10分) 已知正项数列的前n项和为,且. (1)求证: (2)在与间插入n个数,使这个数组成一个公差为的等差数列,在数列中是否存在3项,(其中m,k,p成等差数列)成等比数列?若存在,求出这样的3项,若不存在,请说明理由. 17.(15分) 已知函数(a为常数). (1)求函数的单调区间; (2)若存在两个不相等的正数,满足,求证:. (3)若有两个零点,,证明:. 18.(15分) 在平面直角坐标系中,点,的坐标分别为和,设的面积为,内切圆半径为,当时,记顶点的轨迹为曲线. (1)求的方程; (2)已知点,,,在上,且直线与相交于点,记,的斜率分别为,. (i) 设的中点为,的中点为,证明:存在唯一常数,使得当时,; (ii) 若,当最大时,求四边形的面积. 19.(15分) 某工厂引进新的生产设备,为对其进行评估,从设备生产零件的流水线上随机抽取100件零件作为样本,测量其直径后,整理得到下表: 直径/mm 58 59 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 73 合计 件数 1 1 3 5 6 19 33 18 4 4 2 1 2 1 100 经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值. (1)为评估设备对原材料的利用情况,需要研究零件中某材料含量和原料中的该材料含量之间的相关关系,现取了8对观测值,求与的线性回归方程. (2)为评判设备生产零件的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行评判(表示相应事件的概率); ①;②;③. 评判规则为:若同时满足上述三个不等式,则设备等级为甲;仅满足其中两个,则等级为乙;若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部不满足,则等级为丁,试判断设备的性