2023-2024学年沪科版九年级下册数学常考题型专练

沪科版 数学 9年级下册 (一) 旋转中的常见模型 模型一　“手拉手”模型 模型解读　如图,AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD、CE,BD与CE相交于点O.则 (1)△ABD≌△ACE; (2)∠BOC=∠DOE=∠BAC=∠DAE.(拉手线的夹角等于等腰三角形的顶角) 1.如图,D为等边三角形ABC内一点,将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到AE,连接CE,BD的延长线与AC交于点G,与CE交于点F,连接AF. (1)求证:BD=CE; (2)求∠AFE的度数. 模型二　“半角”模型 模型解读　常见的半角模型有“45°半角模型”和“60°半角模型”.下面展示正方形内45°半角模型: 如图,在正方形ABCD中,∠MAN=45°,则 (1)MN=BM+DN; (2)MA平分∠BMN,NA平分∠DNM. 2.【方程思想】如图,正方形ABCD的边长为9,E、F分别是AB、BC边上的点,且∠EDF=45°.将△DAE绕点D逆时针旋转90°,得到△DCM. (1)求证:EF=FM; (2)当AE=3时,求EF的长. 模型三　“对角互补”模型 模型解读　如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,点P是斜边AB的中点,∠MPN=90°,连接CP,则△CDP≌△BEP. 3.如图1,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,AD⊥BC于点D,∠MDN=90°,将∠MDN绕点D顺时针旋转,它的两边分别交AB、AC于点E、F. (1)求证:△BDE≌△ADF; (2)如图2,若DM=DN,连接BM、NA,求证:BM=AN. 　 模型四　“鸡爪”模型 模型解读　“鸡爪”模型常出现在等边三角形和等腰直角三角形中,下面展示等边三角形中的情况: 如图,在等边△ABC中,OA=a,OB=b,OC=c,若a2+b2=c2,则∠AOB=150°. 4.如图,O是等边△ABC内一点,OA=5, OB=12,OC=13,将线段BO绕点B逆时针旋转60°得到线段BO',连接OO',AO'. (1)求点O与O'之间的距离; (2)求∠AOB的度数; (3)求△AOB的面积. (二) 证明圆的切线的常用方法 类型一　交点已知,连半径证垂直 方法一　平行线性质法证垂直 1.如图,AB为☉O的直径,E为☉O上一点,∠EAB的平分线AC交☉O于C点,过C点作CD⊥AE交AE的延长线于D点,直线CD与射线AB交于P点.求证:DC为☉O的切线. 方法二　利用等角转换法证垂直 2.如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB的中点O为圆心,AB为直径的圆交AC于D,E是BC的中点,直线DE交BA的延长线于F.求证:FE是圆O的切线. 方法三　利用全等法证垂直 3.如图,以Rt△ABC的直角边AC为直径作☉O,交斜边AB于点D,E为BC边的中点,连接DE.请判断DE是不是☉O的切线,并证明你的结论. 4.如图,已知AB是☉O的直径,D是☉O上一点,且∠A=∠CDB=∠COB.求证:CB是☉O的切线. 方法四　勾股定理逆定理法证垂直 5.【几何直观】【新考法】如图,在平面直角坐标系中,以点C(2,0)为圆心,3为半径的圆交x轴正半轴于点A,交y轴正半轴于点B,过点B的直线交x轴负半轴于点D. (1)求A、B两点的坐标; (2)求证:直线BD是☉C的切线. 方法五　特殊角计算法证垂直 6.如图,A,B是☉O上的两点,且AB=OB,连接OB并延长到点C,使BC=OB,连接AC.求证:AC是☉O的切线. 类型二　交点未知,作垂直证半径 方法六　角平分线性质法证半径 7.如图,△ABC中,∠ACB=90°,BO为△ABC的角平分线,以点O为圆心,OC为半径作☉O与线段AC交于点D.求证:AB为☉O的切线. 方法七　全等三角形法证半径 8.如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.求证:AB为☉O的切线. (三) 圆中阴影部分面积的求法 类型一　和差法 1.如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,AC =BC=2,以点A为圆心,AC为半径画弧,交AB于点E,以点B为圆心,BC为半径画弧,交AB于点F,则图中阴影部分的面积是 (　　) A.π-2　　　　B.2π-2　　　　C.2π-4　　　　D.4π-4 2.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D为边AB的中点,以点A为圆心,线段AD的长为半径画弧,与AC边交于点E;以点B为圆心,线段BD的长为半径画弧,与BC边交于点F.若BC=6, AC=8,则图中阴影部分的面积为 (　　) A.48- 3.如图,在矩形ABCD中,连接BD,以点B为圆心,BD长为半径作弧交BC的延长线于点E,若AB=1,∠DBC