解析几何专题4 第2课时以探究形式出现的定值、定点、定直线问题讲义——2024届高三数学二轮复习（新高考2卷）

专题四 定值、定点、定直线与存在性问题 第2课时 以探究的形式出现的定值、定点、定直线问题 第一部分 真题再现 【例1】 已知圆，是直线上的动点，过点作圆的切线，切点为. **(1)当切线的长度为时，求点的坐标. ***(2)若的外接圆为圆，试问：当点运动时，圆是否过定点？若过定点，求出所有的定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【跟踪练习】已知椭圆C：的离心率为，且过点A(2，1)． *(1)求C的方程： ***(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值． 【例2】过抛物线内部一点作任意两条直线，如图所示，连接延长交于点，当为焦点并且时，四边形面积的最小值为32 *（1）求抛物线的方程； ***（2）若点，证明在定直线上运动，并求出定直线方程. 【跟踪练习】已知椭圆，为左、右焦点，直线过交椭圆于A、B两点. *(1)若AB垂直于轴时，求； **(2)当时，在轴上方时，求的坐标； ***(3)若直线交轴于M，直线交轴于N，是否存在直线，使，若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 第二部分 强化训练 1. 已知椭圆（），四点，，，中恰有三点在椭圆C上． **（1）求椭圆C的方程； ***（2）椭圆C上是否存在异于的两点M，N使得直线与的斜率之和与直线MN的斜率（不为零）的2倍互为相反数？若存在，请判断直线MN是否过定点；若不存在，请说明理由． 2. 过点的动直线与双曲线交于两点，当与轴平行时，，当与轴平行时，． **（1）求双曲线的标准方程； ***（2）点是直线上一定点，设直线的斜率分别为，若为定值，求点的坐标． 3、如图，椭圆的离心率是，过点的动直线与椭圆相交于两点．当直线平行于轴时，直线被椭圆截得的线段长为． **(1)球椭圆的方程； ***(2)在平面直角坐标系中，是否存在与点不同的定点，使得恒成立？若存在， 求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4、已知椭圆,直线不过原点且不平行于坐标轴，与有两个交点，，线段的中点为． **(1)证明：直线的斜率与的斜率的乘积为定值； ***(2)若过点，延长线段与交于点，四边形能否为平行四边形？若能，求此时的斜率，若不能，说明理由． 5、在直角坐标系中，曲线：与直线(＞0)交与两点， **(1)当时，分别求在点和处的切线方程； ***(2)轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由。 第三部分 复习巩固 1. 已知椭圆：的三个顶点构成边长为4的等边三角形． *（1）求的标准方程； （2）已知直线的倾斜角为锐角，分别与轴、轴相交于点，，与相交于，两点，且为线段的中点，关于轴的对称点为，直线与的一个交点为． **①证明：直线与的斜率之比为定值； ***②当直线的倾斜角最小时，求的方程． 2. 已知抛物线，过点的两条直线、分别交于、两点和、两点．当的斜率为时，． **（1）求的标准方程； ***（2）设为直线与的交点，证明：点在定直线上． 3. 已知椭圆E：的长轴长为4，由E的三个顶点构成的三角形的面积为2. *（1）求E的方程； ***（2）记E的右顶点和上顶点分别为A，B，点P在线段AB上运动，垂直于x轴的直线PQ交E于点M（点M在第一象限），P为线段QM的中点，设直线AQ与E的另一个交点为N，证明：直线MN过定点. 4. 已知为坐标原点，双曲线的左，右焦点分别为，，离心率等于，点是双曲线在第一象限上的点，直线与轴的交点为，的周长等于，. **（1）求的方程； ***（2）过圆上一点（不在坐标轴上）作的两条切线，对应的切点为，.证明：直线与椭圆相切于点，且. 5. 已知抛物线与都经过点． **（1）若直线与都相切，求方程； ***（2）点分别在上，且，求的面积． 6、已知抛物线的焦点为，圆，抛物线上一点到其准线的距离等于其到圆心的距离，且. **（1）求抛物线和圆的方程； ***（2）过抛物线上一点作圆的切线分别交抛物线于两点，已知直线的斜率为，求点的坐标. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题四 定值、定点、定直线与存在性问题 第2课时 以探究的形式出现的定值、定点、定直线问题 第一部分 真题再现 【例1】 【解析】（1）由题可知圆的圆心为，半径. 设，因为是圆的一条切线，所以. 在中，，故. 又， 所以，解得或，所以点的坐标为或. (2)因为，所以的外接圆圆是以为直径的圆，且的中点坐标为，所以圆的方程为，即. 由，解得或， 所以圆过定点和. 【跟踪练习】【解析】(1)由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：． (2)设点． 因为AM⊥AN，∴，即,① 当直线MN的斜率存在时，设方程为,如图1． 代入椭圆方程消去并整理得： ②, 根据,代入①整理可得： 将②代入，， 整理化简得