第1课时 定值、定点、定直线与存在问题专题训练-2024届新高考高三数学解析几何专题4

专题四 定值、定点、定直线与存在性问题 核心知识必刷 1、核心知识点串讲 (1)定值、定点、定直线与存在性问题 解析几何有两大核心特点:一是数形结合,二是动静结合.事实上,解析几何中任何曲线都可视为点运动 的轨迹,且这些轨迹会随着参数的变化发生变化. 但在这一变化过程中,有些点、直线和量,并不随着曲线的变化而变化,这就产生了与圆锥曲线相关的定 值、定点和定直线问题. 而对定值、定点和定直线是否存在的探究,就变成了我们通常所说的存在性问题,也称存在性探究问题, 其本质是探究变化之中的不变量(点、直线). (2)常用的解决方法 对于定值、定点、定直线与存在性问题常用的解决方法有: ①直接探究法 当题目已给定定值(定点、定直线)或某个结论,只需要我们问答是否存在时,我们常常采用直接探究法. 所谓直接探究法,就是根据题目所给条件,采用演绎推理的方法,执因索果,得出结论,从而肯定或否 定定值(定点、定直线)或某个结论成立的方法. ②特值(特殊情况)探究法 当题目中定值(定点、定直线)未给定时,我们常常采用特值探究法.所谓特值探究法,就是先将题设条 件特殊化,取某些特殊的值(点、直线等),探究出定值或得出某个结论,然后再给予验证或证明的方法. 但无论是采用哪种方法,解析几何中有关定值、定点、定直线和存在性问题都离不开对题设条件直接进 行转化(特别是几何条件代数化)的过程,也离不开“设参”“消参”等常用方法和手段,这些方法既存 在于对结论的寻找、探索过程中,也存在于对结论的证明过程中. 2、 命题特点分析 纵观各地历年高考试题,可以看出,关于定值、定点、定直线与存在性问题,解答题主要分三大类: (1)有关定值、定点或定直线的证明题; (2)以探究的形式出现的,有关定值、定点或定直线的存在性问题; (3)一般存在性探究问题. 第1课时 定值、定点、定直线问题 第一部分 真题再现 【例1】(2023年新课标全国 卷)已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为,离心率为. *(1)求C的方程; ***(2)记C左、右顶点分别为,,过点的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线与交于点P.证明:点在定直线上. 【跟踪练习】已知双曲线经过点,直线、分别是双曲线的渐近线,过分别作和的平行线和,直线交轴于点,直线交轴于点,且(是坐标原点) *(1)求双曲线的方程; ***(2)设、分别是双曲线的左、右顶点,过右焦点的直线交双曲线于、两个不同点,直线与相交于点,证明:点在定直线上. 【例2】(2023年全国乙卷理科)已知椭圆的离心率是,点在上. *(1)求方程; **(2)过点的直线交于两点,直线与轴的交点分别为,证明:线段的中点为定点. 【跟踪练习】(2022年高考全国乙卷数学(理))已知椭圆E的中心为坐标原点,对称轴为x轴、y轴,且过两点. *(1)求E的方程; ***(2)设过点的直线交E于M,N两点,过M且平行于x轴的直线与线段AB交于点T,点H满足.证明:直线HN过定点. 第二部分 强化训练 1、已知抛物线的焦点为,直线与轴的交点为,与抛物线的交点为,且. *(1)求的值; ***(2)已知点为上一点,,是上异于点的两点,且满足直线和直线的斜率之和为,证明直线恒过定点,并求出定点的坐标. 2、已知抛物线C:x2=−2py经过点(2,−1). *(1)求抛物线C的方程及其准线方程; ***(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=−1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点. 3.如图,已知双曲线的右焦点,点分别在的两条渐近线上,轴,∥(为坐标原点). *(1)求双曲线的方程; ***(2)过上一点的直线与直线相交于点,与直线相交于点,证明点在上移动时,恒为定值,并求此定值. 4、已知抛物线 过点.过点作直线与抛物线交于不同的两点,过点作轴的垂线分别与直线交于点,其中为原点. *(1)求抛物线的方程,并求其焦点坐标和准线方程; **(2)求证:为线段的中点. 5.已知抛物线经过点.过点的直线与抛物线有两个不同的交点,,且直线交轴于,直线交轴于. *(1)求直线的斜率的取值范围; ***(2)设为原点,,,求证:为定值. 6、已知A、B分别为椭圆E:(a>1)左、右顶点,G为E的上顶点,,P为直线x=6上的动点,PA与E的另一交点为C,PB与E的另一交点为D. *(1)求E方程; ***(2)证明:直线CD过定点. 7、已知椭圆,四点,,,中恰有三点在椭圆上. **(1)求的方程; ***(2)设直线不经过点且与相交于两点,若直线与直线的斜率的和为,证明:过定点. 8.已知椭圆的离心率为 ,的面积为1. *(1)求椭圆的方程; ***(2)设的椭圆上一点,直线与轴交