第一章第4节用空间向量研究夹角问题第三课时教学设计2023-2024学年高二上学期数学人教A版2019选择性必修第一册

附件2： 微课教学设计 授课教师姓名 俞兴保 微课名称 用空间向量研究夹角问题（第三课时） 知识点来源 □学科：高中数学 □年级：高二年级 □教材版本：人教A版 □所属章节：选择性必修一第一章《空间向量》第4节 录制工具和方法 QQ录屏工具，录制PPT播放及语音讲解。 设计思路 根据向量法解决立体几何问题的思路有多种，如空间直角坐标系法，空间基底法等。而本节课主讲的一类题型是直接利用向量的线性运算和模的运算来求夹角问题。 1. 问题引导 2、类比教学 3、变式教学 4、讲练结合 5、课后巩固 教学设计 内 容 教学目的 1.了解利用空间向量解决立体几何问题的三步曲； 2.理解立体几何问题转化为向量运算的意义； 3.理解用空间向量法解决立体几何问题时，不一定非要建立空间基底或空间直角坐标系，其实也可以直接进行向量线性运算。 教学重点难点 1. 如何让立体几何问题合理转化为向量问题来进行求解； 2. 解决立体几何问题时，如何灵活运用向量的数量积运算。 教学过程 1.课前练习，复习引入 【学生实际情况】前面我们学过如何利用平面向量解决平面几何问题的“三步曲”，类似可以得到用空间向量解决立体几何问题的“三步曲” ： 【设计意图】创设数学复习情境，让学生感受在数学学习中类比思想的重要性，其次理解通性通法是解决数学问题的基本思想.让学生能懂得运用“三步曲”来解决空间几何问题。避免学生答题不规范，研究问题不到位，导致不必要丢分。 2.举例讲解，复习巩固 【学生实际情况】同学们已经学过这个例题，在此重复抛出这个问题，是想进行变式教学，让学生懂得向量法解决立体几何问题的更多运用方式。 【设计意图】继续创设数学复习情境，让学生感受在数学已有知识的基础上，继续探究向量法的运用。既起到巩固“三步曲”的目的，又为本节课的教学重点抛砖引玉，自然衔接。既说明立体几何的解法的多样性，又起到变式教学的作用。 3.例题延伸，变式解法 【问题预设】 问题1：书中例7的解法符合“三步曲”思想，但请问是利用了向量的哪一方面知识来求解的呢？ （引导学生归纳出利用空间基底思想来把所求向量转化到空间基底向量上来，从而利用向量积来求夹角） 根据“三步曲”中的关键一步是向量运算，若继续运用向量法，则需要在向量运算上去寻求新的什么运算方法？ （引导抛弃空间坐标系和空间基底运算，从而引导学生回答出直接运用向量的线性运算和模长运算） 我们可以选择一条向量用其它三条向量来线性表示，结合图形可知： 然后利用这四条向量的模长都是已知的，从而可以用向量的平方运算来进行数量积的研究。 问题3：这里的每两条向量的数量积分别怎么计算? 【解题板演】 由正四面体的性质 所以 即可得： 即异面直线AN与CM所成角的余弦值是. 【设计意图】 此题是利用向量法，一题多解，除了课本上的方法外，还补充了向量法求异面直线所成角的思路，针对这一类题型既要总结到位，又要娴熟应用。即转化为向量的线性运算和模长运算来求夹角问题。 4.课堂练习，形成应用 练习1：如图,二面角的棱上有两个点A,B，线段BD与AC分别在这个二面角的两个平面内，并且都垂直于棱。若AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝, 求平面与平面的夹角. 【问题预设】 问题1:此题二面角的几何法求解思路是怎么样的? 如图，可以作,连接CE. 二面角的平面角就是 但是容易发现这个角所在的三角形有一条边不好求边长. 问题2:此题二面角的几何法求解思路受阻，请问转换空间向量思想如何来求解? 思考向量方法，发现二面角的大小就是 最后，我们 而我们想到这里有四条线段长全部已知，要求角大小，可以利用向量模与数量积的关系来求解 【解题板演】 又因为AB＝４，AC=6，BD＝８， CD ＝ ， ，所以平面与平面的夹角是. 【设计意图】 （1）几何法有困难，向量法又不好建系，也就想到向量的基底法或线性运算法来求夹角大小. （2）懂得当已知首尾连接的四条线段长时，又知道其中两组相邻边的夹角，就可以利用向量的线性运算和模长运算来求相对两边所成的角的余弦值. 5.课堂小结，强调重点 1、通过这节课的学习，我们对立体几何中的向量运算法是否有了新的认识？ ，从而解决问题。 以上就是利用向量法解决立体几何问题的三步曲。 2、相信通过这节课的学习，我们已经提高了应用向量运算知识来解决立体几何 问题的能力。 ①特别是利用向量的线性运算和数量积运算解决夹角问题； ②思路就是利用四条线段的长及两个相邻两边夹角的大小来求异面直线所成角的大小。 3、本课重点是应用向量的线性运算和模长运算来解决夹角问题： 【设计意图】 （1）突出本节课的重点，利用向量法解题的三步曲； （2）加强本节课对于向量法求解立体几何问题的