第五章第3节导数综合应用专题2023-2024学年高二上学期数学人教A版2019选择性必修第二册

导数专题 俞兴保 广东省深圳市盐田高级中学（邮编：518019） [思维流程]——“导”字当头 求解函数问题的基本策略在于“导”——导数与单调性，对于任意函数，可以从求导出发，探索函数取值规律，从而分析和解决问题。将函数最值、极值、零点、极值点、单调性等问题转化函数的导数，然后借助导数的性质去分析原函数或不等式，从而直到解决问题为止。 【典例】（2023年·全国高考乙卷）21. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. （3）若在存在极值，求a的取值范围. [满分示例·规范答题] 思维构建 再利用导数的几何意义来求出该点的切线斜率。 最后用点斜式直线方程来求出切线方程。 先利用乘积的求导法则进行求导运算。 规范答题 （1） 当时， 则 （1分） 由函数值和导数值可得， （2分） 利用点斜式直线方程可得： 函数在处的切线方程为， 即. （3分） 思维构建 这里求系数，先采用必要性原理，后证明充分性。 利用函数对称性恒等式来研究系数 利用函数的对称性性质，即由定义域关于直线对称来研究。 规范答题 （2）由函数的解析式可得，令. 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得，（4分） 由对称性可知， 取可得， 即，则，解得，（5分） 经检验满足题意，即存在满足题意. （6分） 利用函数零点存在性定理来解决问题。 利用分类思想讨论参数。 利用导数的意义，把函数极值点问题转化为导数零点存在性问题。 （3）由函数的解析式可得 ，令 则，定义域为。 1)当时，，在上单调递增， 因为，所以此时，即， 所以在上单调递减，故无零点，不合题意; （8分） 2）当时，， 同理可得在上单调递增，故无零点，不合题意;（9分） 3）当时，由，解得， 可得当时，，在单调递增， 故，即，（10分） 当时，，在单调递减， 故，，即存在，（11分） 根据零点存在性定理可知:在区间上必存在变号的零点. 故符合题意。综合上面可知:实数得取值范围是.（12分） [评分说明] 1．评卷流程 先看结果是否正确，若结果正确，则看过程是否有跳步、过程不严谨、漏了讨论点等，从而酌情扣分。此时只减分不加分。若结果错误，则看过程是否有得分点，然后踩点得分，有点即给分，无点不给分。此时只加分不减分。所以解答过程必须要有理有据，若不会做的题，也要按题目要求尽量写几步，虽然求不出结果，也许也能得几分。 （1）写全得分步骤，踩点得分：对于解题过程中踩分点的步骤有则给分，无则没分，如第（1）问中，导数求对，则可得1分。第（2）问中，利用定义域对称性求出b，也可得1分，第（3）问中，讨论参数的某段特殊范围，导致分析出原函数的单调性，从而判断此时无极值点。这时也可得1-2分。以上就算是结果没有求出来，但有了这些步骤，还是可以得到相应的步骤分。 （2）写明得分关键：如第（1）问中求切线方程，要写上由点斜式直线方程可得。第（2）问中，若用必要性求出结果，则一定要进行充分性证明。否则就可扣掉1-2分。 （3）分类讨论题，综上所述是得分的保证：如第（3）问用分类讨论思想，来研究函数的性质，最后一定要综述，来表达这个问题的最后结论是什么，否则结果没有表达出来，会丢掉1-2分。 [一题练透]“导数”——一题全串通 1. （变式问题）已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）是否存在a，b，使得曲线关于直线对称，若存在，求a，b的值，若不存在，说明理由. （3）若在是单调函数，求a的取值范围. 2. （变式拓展）已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）当时，，求a的取值范围； 答案： 1．解析：（1）当时， 则 （1分） 由函数值和导数值可得， （2分） 利用点斜式直线方程可得： 函数在处的切线方程为， 即. （3分） （2）由函数的解析式可得，令. 函数的定义域满足，即函数的定义域为， 定义域关于直线对称，由题意可得，（4分） 由对称性可知， 取可得，即， 则，解得，（5分） 经检验满足题意，即存在满足题意. （6分） （3）由函数的解析式可得 ，令 则，定义域为。 1)当时，，在上单调递增， 因为，所以此时，即， 所以在上单调递减，符合题意; （8分） 2）当时，， 同理可得在上单调递增，符合题意;（9分） 3）当时，由，解得， 可得当时，，在单调递增， 故，即，（10分） 当时，，在单调递减， 故，，即存在，（11分） 根据函数连续性可知:在区间上必存在有正值有负值的区间, 故不合题意。综合上面可知:实数得取值范围是.（12分） 2．解析：（1）当时，，则， 由函数值和导数值可得：， 利用点斜式直线方程可得：