第一章第4节空间向量中个别难求点的坐标突破方法2023-2024学年高二年级上学期数学人教A版2019选择性必修第一册

空间向量中个别难求点的坐标突破方法 深圳市盐田高级中学 俞兴保 从2023年2月深圳市高三第一次调研考试中，可以看出深圳市的数学命题难度与2022年新高考数学相当，也可以看出深圳市参与命题的老师能够研读新课程标准和研究新高考试题。这套试卷充分体现了新高考的特点，有难度，也有高度，有特色，也有区分度，有教材中问题的变式，也有教材中阅读与思考的延续，在此为深圳市的数学教育点个赞。下面我就本次考试中的一道立体几何题来展开研究与探讨。本次考试该题的得分率为34.53%，平均得分为4.143分。该题第一问满分是5分，由于第一问切入点不难，也就相当于第二问的得分率低。我思考其中原因，归结为点P的坐标没能直接给出，而是要经过空间关系去证明与计算才能得到，这给大部分学生制造了一定的困难。深层次原因就是新教材的空间角求法主推空间向量法，从而淡化了学生的空间想象能力，所以学生遇上稍微复杂一点的空间关系问题时，就只能瞎编胡扯了。既然学生懂得空间向量法，也会通过向量运算来求解空间角，那么我们就应该教会学生利用空间向量法去解决各种复杂空间关系问题，下面我就例举个别难求点的坐标突破方法。 例1、(2023年深圳市高三年级第一次调研考试)如图，在四棱锥中，，且，底面是边长为2的菱形，. （1）证明：平面平面; （2）若，求平面与平面夹角的余弦值. 证明：（1）连接交于点，连接． 因为是菱形，所以，且为的中点． 因为，所以． 又因为平面，且， 所以平面．又平面， 所以，平面平面． ………………5分 （2）取中点，连接交于点，连接． 因为，所以△是等边三角形， 所以．又因为，所以平面．所以． 由（1）知，且，所以平面． 由是边长为2的菱形， 在△中，，． 由，在△中，，所以． 以为坐标原点，、分别为轴、轴建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，． 设平面的法向量为， 所以，令得． 设平面的法向量为， 所以，令得． 设平面与平面的夹角为． 所以，． 所以，平面与平面夹角的余弦值为． ………………………12分 【分析问题】：这是命题老师给出的严谨推理方法，由于是先进行空间关系推理，再建立空间坐标系，然后进行空间向量运算。显然针对在空间关系推理能力上不足的大部分同学，是无法得出点P坐标，从而只能望尘莫及。下面给出一种空间向量法，完美避开所需的空间想象能力，直接用向量法来研究空间关系，从而得到点P坐标，为后续计算打下坚实基础。 （2）我们直接依据底面菱形的中心为坐标原点， 以 、分别为轴、轴，建立如图所示空间直角坐标系， 由平面平面可得，点在平面的射影一定在上， 所以可设，，，， ，，， 由得：，即，解得 由得：，即，解得 所以得到点P坐标为 ，后面解法同上。 【反思总结】：这种方法是先建立空间直角坐标系，设点P坐标，再利用点P的空间关系，进行空间向量运算，得出点P的坐标。这样就避开了空间想象力，演变成空间运算。所以解决疑难问题，有时就是要打开新思路，才能出新成果。 例2、(2019年浙江高考真题)如图，已知三棱柱，平面平面,，分别是的中点. （1）证明：； （2）求直线与平面所成角的余弦值. 证明：(1)如图所示，连结， 等边中，，则， 平面ABC⊥平面，且平面ABC∩平面， 由面面垂直的性质定理可得：平面，又由， 故以为坐标原点，以分别为轴，建立空间直角坐标系 设，由， 则 ，， (2)由，， 设平面的法向量为，则： ，令，则 所以可得平面的一个法向量为， 此时， 设直线EF与平面所成角为，则. 即，直线与平面所成角的余弦值为. 【反思总结】：这种方法是先找到基本的空间垂直关系，建立空间直角坐标系，然后表达已知点的坐标，针对难求的点的坐标，我们不需要准确了解，我们只需要利用向量的线性关系，进行向量运算就可以得到相关向量的坐标，这样就再次避开了空间想象力，以及空间关系的证明，从而就演变成空间向量的运算求解。一般思想就是我们只要建立空间直角坐标系，把三条坐标轴上的相关点表示出来，其余点的坐标及向量问题就可以借助向量的线性运算来求，最后就利用空间向量法解决问题。 例3、(2017年全国新课标Ⅱ卷理)如图，四棱锥P-ABCD中，侧面PAD是边长为2的等边三角形且垂直于底面，是的中点． （1）证明：直线平面； （2）点在棱上，且直线与底面所成角为， 求二面角的余弦值． 证明：（1）取中点，连结，． 因为为的中点，所以,, 由得，又 所以．即四边形为平行四边形， 所以．又，， 故 （2）由已知得,以分别为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， ，，由M在棱PC上,可设 则 因为BM与底面ABCD所成的角为45°，而是底面ABCD的法向量，所以 ，，解得：， 又因为点在棱上，所以， 而