第四章第4节数学归纳法教案2023-2024学年高二年级上学期数学人教A版2019选择性必修第二册

【课题】《 4.4 数学归纳法 》教学设计 深圳市盐田高级中学 高伟 【教材】人教A版高中数学（2019）选择性必修第二册第四章第四节 【课时安排】第1课时（共需要2课时） 【教材分析】 本节虽为选学内容，不作为考试要求，但是鉴于数学归纳法是一种非常有用的数学证明方法，它是解决求数列的通项公式、数列求和、二项式定理、整除等问题的新方法,所以根据实际条件让学生学习数学归纳法还是很有必要性的，长远看对以后学好高等数学也是很有帮助的.由于课标要求是了解数学归纳法原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学问题.所以本节课的定位是：既要教原理了解，又要教操作步骤理解；既要提供“方法”的背景，更要借助例题把重点放在应用数学归纳法的证明上. 【学情分析】 高二学生具备一定的抽象思维能力和逻辑推理能力.但对于数学归纳法，学生理解和接受它是一件很困难的事情，因为学生缺少体验和认知基础.所以需为学生创设现实情境及与数学归纳法有类似想法的实际体验. 【教学目标】 （1）知识目标：①了解数学归纳法的原理和步骤，②会用数学归纳法证明关于整数n的数学命题. （2）能力目标：通过用数学归纳法对证明一个数学命题的过程，使学生学会数学演绎证明的方法，理解将无限问题转化为有限问题的化归思想，培养数学探究的意识. （3）素养目标：通过利用多米诺骨牌全部倒下的过程来类比和分析，形成数学归纳法的证明步骤，从而来提升学生的数学抽象和逻辑推理素养. 【教学重点】 ①借助具体实例，通过多米诺骨牌与数学问题的之间过程类比，提炼出获得证明数学命题的方法，进而推广为数学归纳法的的原理和步骤. ②用数学归纳法证明一些简单问题，学会应用. 【教学难点】 ①如何类比多米诺骨牌原理解决数学问题，了解数学归纳法的基本步骤； ②对n=k成立，去证明蕴含关系n=k+1也成立的理解. 【教学方法】问题驱动、合作探究法、引导发现法、归纳总结. 【教学手段】电教投影设备、多媒体视频、PPT动画. 【教学基本思路】 （一）设置障碍，激发动机 探究：已知数列中，，，计算，，，，猜想其通项公式，并证明你的猜想？ 问题1：根据数列相关知识，大家小组讨论，如何解决？ 师生活动：前面学生已经通过数列一章内容和其它相关内容的学习，初步掌握了由有限多个特殊事例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法．如在数列的学习过程中，我们已经用归纳的方法得出了一些结论，例如等差数列{an}的通项公式an=a1+(n-1) d等，启发学生据此大胆尝试特殊值，认真观察寻找规律，最后大胆归纳猜想结论. 学生活动后，投影展示学生解答的思路： ①观察：根据已知的递推公式； ②归纳：计算出前四项：，，，； ③猜想：由此大胆猜想，该数列的通项公式为； 追问（1）：上面的归纳猜想真的正确吗？我们能证明吗？可以用穷举法证明么？ 追问（2）：怎样才能用有限的生命去对抗无限的验证呢？ 师生活动：组织学生小组合作讨论发表看法，师生交流后，教师概括得到： 一般来说，与正整数n有关的命题，当n比较小时可以逐个验证.但当n较大时，验证起来会很麻烦. 尤其是我们这里要证明n取所有正整数都成立，这是一个无限的问题，逐一验证是不可能的，我们无法用常规方法严格证明.因此，我们很有必要寻求一种新的方法，这种方法能让我们通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数时命题都成立. 设计意图：让学生去发现由有限多个特殊事例得出的结论不一定正确，这种不完全归纳的推理方法不能作为一种论证方法，进而启发学生意识到解决一个数学问题，一个猜想的正确性需要严谨的证明来保证，提升学生数学思维逻辑推理的严谨性及完备性,适度加强“观察——归纳——猜想——证明”的探索性思维方式的渗透.因此，在不完全归纳法的基础上，我们必须进一步学习严谨的科学的论证方法——数学归纳法． （二）回顾旧知，寻找思考方向 问题2：在以前的数学学习中，我们有遇到过类似的问题吗？ 师生活动：学生在了解了“矛盾”之后，如何寻找思考的方向是一个难点.这就需要了解学生原有的认知结构，结合现有的基础，从“过去的经验”中为破解难点搭建阶梯，使学生能顺阶而上. 引导学生回顾：立体几何中的“线面垂直”的证明.主要有两种方法： ①按定义证：证明直线与平面内的“任意一条”直线都垂直. ②按判定定理证：证明直线与平面内的“两条”相交直线垂直即可. ( ) 结论：只要通过对“两条”相交直线的验证，就可以确保对“任意一条”直线也成立.实现了无限到有限的转化！ 追问（1）：由这个例子，可以得到什么启发？ 师生活动：学生独立思考进行交流，老师及时归纳小结. 设计意图： “把无限步的验证转化为对有限步的验证”是学生思维中的难点，也是学生探寻数学归纳法的情感动力.线面垂直判定定理的学习，为学生积累