第四章第4节数学归纳法课件2023-2024学年高二年级上学期数学人教A版2019选择性必修第二册

人教A版高中数学（2019）选择性必修第二册第四章第四节 《 4.4 数学归纳法 》 授课教师：深圳市盐田高级中学 高伟 P44页: 猜想数列的通项公式为： 解: 归纳推理 逐一验证，不可能！！！ 问题一  直线和平面垂直的定义： 如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直,记作l⊥α.  l 平面α的垂线 平面α内任意一条直线 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直． m n P 符号表示： 文字语言： 直线和平面垂直的判定定理： P44页: 猜想数列的通项公式为： 解: 归纳推理 逐一验证，不可能！！！ 问题一 我们来欣赏一段多米诺游戏，以及感受到它给游戏者带来的意志力和创造力的培养。 多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。 多米诺是一项集动手、动脑于一体的运动。一幅图案由几百、几千甚至上万张骨牌组成。骨牌需要一张张摆下去，它不仅考验参与者的体力、耐力和意志力，而且还培养参与者的智力、想象力和创造力。 多米诺起源于中国，有着上千年的历史。 观看多米诺骨牌视屏 情境二（多米诺骨牌游戏） 通过下面实验，探索游戏原理。 ？ 两个条件 类比多米诺骨牌游戏，迁移证明数列猜想 ⑴第1块骨牌倒下。 ⑴ 当n=1时，验证猜想正确。 ⑵如果第k块 倒下时，一定能导致第k+1块也倒下。 ⑵如果 n=k 时猜想成立，一定能推出 根据⑴和⑵，可知不论有多少个骨牌都能全部倒下。 根据 ⑴ 和 ⑵ ，可知对所有的正整数n，猜想都成立。 当n=k+1时猜想也成立。 这样就找到有限个步骤的推理,证明n取所有正整数都成立的方法。 多米诺骨牌游戏原理 猜想数列的通项公式为： 分析: 证明： (1)当n=1时，a1=1，显然猜想成立。 (2)假设当n=k时，猜想成立，即 ak = 那么当n=k+1时， ak+1= 2-ak 1 = 1 1 2- = 1 即n=k+1时，猜想成立。 根据⑴⑵可知,对n∈N＊,通项恒成立. 1 类比数学问题, 激起思维浪花 完成这两个步骤后, 就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 n都成立． 证明一个与正整数有关的命题步骤如下： (2) 假设当n＝k (k∈N*, k≥n0 ) 时命题成立, 证明当n＝k＋1时命题也成立． (1) 证明当n取第一个值n = n0 时命题成立. ———这种证明方法叫做 数学归纳法 概括提炼，得出概念 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 例1 . 用数学归纳法证明： 分析：第一步：验证n=1时命题成立, 即证明命题 第二步：要证明命题 “假设 时成立， 那么 第三步：下结论：对任意的正整数n都成立. 两个步骤 一个结论 缺一不可 概念应用 巩固提升 ). 证明: (1)当=1时, 等式左边= =1， 右边= = ，等式成立. (2)假设当= ()时,等式成立,即= 由(1)和(2)可知，等式对任何都成立. 那么 即当= +1时，等式也成立. 目 标 ). 例1 . 用数学归纳法证明： 注意点：用数学归纳法证明恒等式时，应关注以下三点： （1）弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况； （2）弄清从n=k到n=k+1等式两端的变化情况，增加了哪些项，减少了哪些项； （3）在证明n=k+1时命题成立的过程中，要设法利用假设n=k时命题成立的式子，并朝着n=k+1证明目标的表达式进行变形. 小结 对点练习1 B 对点练习2 16 用数学归纳法证明： 1×2＋2×3＋3×4＋…＋n(n＋1) ＝ 从n=k到n=k+1有什么变化 凑假设 凑结论 证明: 2)假设n=k时命题成立，即 1×2＋2×3＋3×4＋…＋k(k+1)＝ 则当n=k+1时， + ＝ = ∴ n=k+1时命题成立。 由(1)和(2)知，当 ，原命题成立。 = 1)当n=1时，左边=1×2=2，右边= =2， 命题成立. 课堂变式练习3 课堂小结 小结：通过本节课，我们学到了什么，请同学回想一下，各抒己见： 问题1. 我们为什么要学习数学归纳法？ 问题2. 我们是借助什么来揭示数学归纳法原理的？ 问题3. 数学归纳