13.4 课题学习 最短路径专题 讲义 2023—2024学年人教版数学八年级上册

最短路径 知识要点： 用轴对称思想解决线段最值问题是常用的方法，本质是利用三角形三边关 系解决问题． 常见的题型有： 1．已知：在l 同侧有 A，B 两点，在直线l 上找一点 P，使得 AP+ PB 最小． 作法：如图，作点 A 关于直线l 的对称点 A'，连结 A'B，与直线l 的交点就是点 P． 2．已知：在l 同侧有 A，B 两点，在直线l 上找一点 P，使得 最小． 作法：如图，连结 AB，作线段 AB 的垂直平分线，与直线l 的交点就是点 P． 3．已知：在l 同侧有 A，B 两点，在直线l 上找一点 P，使得最大． 作法：如图，连结 BA 并延长，与直线l 的交点就是点 P． 4．已知：在l 同侧有 A，B 两点，在直线l 上找两点 C，D（其中 CD 的长度固 定，等于所给线段 a ），使得 AC CD DB 最小． 作法：如图，先将点 A 向右平移 a 个单位长度到点 A, ，作 A, 关于直线l 的对称点 A,, ，连结 A"B，与直线l 的交点就是点 D，连结 A'D，过点 A 作 AC∥A'D，交直线 l 于点 C，则此时 AC+CD+DB 最小． 1 学科网（北京）股份有限公司 5．已知：在∠MON 内有一点 P，在边 ON，OM 上分别找点 Q，R，使得 PQ+QR+RP 最小． 作法：如图，分别作点 P 关于射线 ON，OM 的对称点 P'，P"连接 P'P”与射线 ON， OM 的交点就是点 Q,R． 6．已知：在∠MON 内有一点 P，在边 OM，ON 上分别找点 R，Q，使得 PR+QR 最小． 作法：如图，作点 P 关于射线 OM 的对称点 P7，作 与射线 OM 的交点是点 R． P,Q ⊥ON，垂足为 Q，P'Q 7．已知：在∠MON 内有两点 P，Q，在边 OM，ON 上分别找点 R，S，使得 PR+RS+SQ 最小． 作法：如图，作点 P 关于射线 OM 的对称点 P, ，作点 Q 关于射线 ON 的对称 点 Q'，连结 P,Q, ，与射线 OM，ON 的交点就是 R，S． 例题讲解： 考点1　运用“垂线段最短”解决最短路径问题 1．如图，点P是直线a外一点，PB⊥a，点A，B，C，D都在直线a上，下列线段中最短的是( ) A．PA B．PB C．PC D．PD 2．如图，l为河岸(视为直线)，要想开一条沟将河里的水从A处引到田地里去，则应从河边l的何处开口才能使水沟最短，找出开口处的位置并说明理由． ． 考点2　运用“两点之间线段最短”解决最短路径问题 （一）两点在一条直线异侧： 已知：如图，A，B在直线l的两侧，在l上求一点C，使得这个点到点AB的距离和最短，即CA+CB最小. （二）两点在一条直线异侧 例1.已知，如图，在直线l的同侧有两点A，B. (1)在图1的直线上找一点P，使PA＋PB最短； 例2. 在图中直线l上找到一点M，使它到A，B两点的距离和最小． 　 [来源:学.科.网] 例3. 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水． (1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？ (2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？ 例3． 茅坪民族中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短． 考点3 造桥选址 例1． 如图，村庄A，B位于一条小河的两侧，若河岸a，b彼此平行，现在要建设一座与河岸垂直的桥CD，问桥址应如何选择，才能使A村到B村的路程最近？ 【变式练习】 如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？ 考点4 最短路径问题综合应用 例1.如图所示,P为∠AOB内一点,P1，P2分别是P关于OA，OB的对称点,P1P2交OA于M,交OB于N,若P1P2=8 cm,则△PMN的周长是( ) A.7 cm B.5 cm C.8 cm D.10 cm 例2.如图,在等腰Rt△ABC中,D是BC边的中点,E是AB边上一动点,要使EC+ED最小,请找点E的位置. 例2． 如图,四边形ABCD中,∠BAD=120°,∠B=∠D=90°,在BC，CD上分别找一点M，N,使△AMN周长最小时,求∠AMN+∠ANM的度数. 【变式练习】 1.如图1所示，正方形ABCD的面积为36，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为( ) A.6