12.3角的平分线的性质-讲练课件-2023-2024学年人教版 八年级数学上册

第十二章 全等三角形 角的平分线的性质 数学（RJ）版八年级上册 ⁠ 如图是一个平分角的仪器，用它可以平分一个已知角．其中AB=AD，(BC=) DC，将点A放在角的顶点，AB和AD沿着角的两边放下，沿AC画一条射线AE，利用全等三角形的性质就能说明射线AE是这个角的平分线．这里判定△ABC和△ADC是全等三角形的依据是  　SSS　 ⁠． SSS　 新课学习 ⁠ 尺规作图—— 作已知角的平分线 例1 已知：∠AOB．求作：∠AOB的平分线． (2)分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C． (3)画射线OC．射线OC即为所求． 该作法是依据  　SSS　 ⁠判定△OMC≌△ONC． SSS　 作法：(1)以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N． 1．如图，在△ABC中作出∠ACB的平分线CD，要求尺规作图．(不写作法，保留作图痕迹，要写结论) 解：如图，射线CD即为所求． ⁠ 角的平分线的性质 例2 如图，AP平分∠BAC，PB⊥AB，PC⊥AC，垂足分别为B，C，则PB与PC相等吗？为什么？ 解：PB与PC相等．理由如下： ∵AP平分∠BAC，∴∠BAP＝∠CAP. ∵PB⊥AB，PC⊥AC，∴∠ABP＝∠ACP＝90°. ∵AP＝AP，∴△ABP≌△ACP(AAS)． ∴PB＝PC. 【结论】角的平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 例3 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，AB=10，S△ABD=15，求CD的长． 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E. ∵AB＝10，S△ABD＝AB·DE＝15，∴DE＝3. ∵AD平分∠BAC，∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE＝3. 2．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，点F在AC上，BE=FC．求证：BD=DF． 证明：∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C＝90°， ∴DC＝DE，∠DEB＝90°. 在△DCF和△DEB中， ∴△DCF≌△DEB(SAS)．∴BD＝DF. 1．【教材P48 思考改编】作已知角∠AOB的平分线OC，合理的顺序是(　C　) ①作射线OC；②在OA，OB上分别截取OD，OE，使OD=OE； ③分别以点D，E为圆心，大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部相交于点C． C A．①②③ B．②①③ C．②③① D．③②① 基础巩固 2．如图，点P是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别是点E，F，若PE=3，则PF=  　3　 ⁠． 第2题图 3　 3．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于点D．如果AC=3 cm，那么AE+DE=(　B　) A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 第3题图 B 4．如图，∠B=∠C=90°，根据角平分线的性质填空： 第4题图 (1)若∠1=∠2，则  　BD　 ⁠=  　CD　 ⁠； (2)若∠3=∠4，则  　AB　 ⁠=  　AC　 ⁠． BD　 CD　 AB　 AC　 5．(2022·北京)如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB．若AC=2，DE=1，则S △ACD=  　1　 ⁠． 第5题图 1　 6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°． (1)利用尺规作∠ABC的平分线交AC于点D；(保留作图痕迹，不写作法) 解：如图，BD即为所求． 证明：∵∠BAC＝90°，∠C＝30°， ∴∠ABC＝90°－30°＝60°. ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABC＝30°. ∴∠C＝∠CBD. (2)若∠C=30°，求证：∠C=∠CBD． 7．【拓展题】如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，AB=12，BC=18． 解：(1)∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF. ∴S△ABD∶S△BCD＝＝＝2∶3. (1)求S△ABD∶S△BCD的值； (2)若S△ABC=36，求DE的长． 由题意，得S△ABC＝S△ABD＋S△BCD＝AB·DE＋BC·DF＝36. 由(1)，得DE＝DF.∴DE·(AB＋BC)＝36. ∵AB＝12，BC＝18，∴DE＝. 1．如图，OP平分∠AOB，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为点D，E．下列结论错误的是(　D　) A．PD＝PE B．OD＝OE C．∠DPO＝∠EPO D．PD＝OD D 第1题图 基础提能 2．如图，在△ABC中，∠C＝9