12.3角的平分线的判定-讲练课件-2023-2024学年 人教版 八年级数学上册

第十二章 全等三角形 角的平分线的判定 数学（RJ）版八年级上册 ⁠ 角的平分线的判定 ⁠我们知道角的平分线上的点到角的两边的距离相等．那么反过来，到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？ 新课学习 证明：∵PB⊥AB，PC⊥AC， ∴∠ABP＝∠ACP＝90°. ∵AP＝AP，PB＝PC，∴Rt△ABP≌Rt△ACP(HL)． ∴∠BAP＝∠CAP.∴AP平分∠BAC. 如图，在∠BAC的内部存在一点P，作PB⊥AB，PC⊥AC，垂足分别为点B，C．若PB=PC，求证：AP平分∠BAC． ⁠角的平分线的判定：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上． 例1 如图，在△ABC中，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是点E，F，BE=CF．求证：AD平分∠BAC． 证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC， ∴∠BED＝∠CFD＝90°. ∵点D是BC的中点，∴BD＝CD. 在Rt△BED和Rt△CFD中， ∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL)．∴DE＝DF. ∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴AD平分∠BAC. 1．如图，BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE，CF相交于点D．若BD=CD，求证：AD平分∠BAC． 证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB， ∴∠BFD＝∠CED＝90°. 在△BDF和△CDE中， ∴△BDF≌△CDE(AAS)．∴DF＝DE. ∵DE⊥AC，DF⊥AB，∴AD平分∠BAC. ⁠ 角的平分线的应用 例2 【教材P55 习题T6 改编】如图，直线l1 ，l2 ，l3 表示三条相互交叉的公路，现要建一个塔台，若要求它到三条公路的距离都相等，试问： (1)可选择的地点有几处？ 解：(1)可选择的地点有4处． (2)你能画出塔台的位置吗？ (2)能．如图，根据角平分线的性质，作三条直线相交形成的角的平分线，平分线的交点P1，P2，P3，P4就是所求的点． 2．如图，要在河流与公路围成的I区建一个工厂，使工厂的位置A到河流和公路的距离相等，并且到河流与公路交叉点B处的距离为(1 cm) (指图上的距离)，在图中作出点A的位置． 解：如图所示，点A即为所求． 1．到三角形的三边距离相等的点是(　B　) A．三角形三条高的交点 B．三角形三条内角平分线的交点 C．三角形三条中线的交点 D．以上均不对 B 基础巩固 2．如图，∠AOB=70°，QC⊥OA于点C，QD⊥OB于点D．若QC=QD，则∠AOQ=  　35°　 ⁠． 第2题图 35°　 3．在正方形网格中，∠AOB的位置如图所示，到∠AOB两边距离相等的点应是(　A　) A．点M B．点N C．点P D．点Q 第3题图 A 4．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC上一点，DE⊥AB于点E，且DE=DC．若∠A=40°，求∠DBC的度数． 解：∵∠C＝90°，∴DC⊥BC. ∵DE⊥AB，DE＝DC， ∴点D在∠ABC的平分线上．∴BD平分∠ABC. ∵∠A＝40°，∴∠ABC＝50°. ∴∠DBC＝∠ABC＝25°. 5．如图，△ABC的外角的平分线BD，CE相交于点P． 求证：点P在∠BAC的平分线上． 证明：如图，过点P作PF⊥AC，PG⊥BC，PH⊥AB，垂足分别为点F，G，H. ∵BD，CE是△ABC的外角的平分线， ∴PG＝PH，PF＝PG. ∴PF＝PH. ∴点P在∠BAC的平分线上． 6．【教材P52 习题T7 改编】如图，∠B=∠C=90°，点M是BC的中点，DM平分∠ADC． (1)求证：AM平分∠BAD； (1)证明：如图，过点M作ME⊥AD于点E. ∵∠C＝90°，DM平分∠ADC，∴ME＝MC. ∵点M为BC的中点， ∴MB＝MC.∴ME＝MB. ∵ME⊥AD，∠B＝90°， ∴AM平分∠BAD. (2)试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？ (2)解：DM⊥AM.理由如下： 如图，∵DM平分∠ADC， AM平分∠BAD， ∴∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∵∠B＋∠C＝180°，∴DC∥AB. ∴∠ADC＋∠BAD＝180°. ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°.∴∠1＋∠3＝90°. ∴∠DMA＝180°－(∠1＋∠3)＝90°，即DM⊥AM. 活动1 用全等三角形设计图案 例1 如图是根据全等形设计的两个图案．仔细观察一下，每个图案中有哪些全等形？有哪些全等三角形？ 解：图1中4个灰色的四边形是全等形，4个黑色的四边形是全等形，边框上的8个白色的三角形是全等三角形． 图2中四个灰色三角形是全等三角形，四个白色大三角形是全等三角形，8个白色小三角形是全等三角形，4个白色正方形是全等形． 数学活动 变式1 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会会标中的图案，其中