27.1 圆的基本性质(二) 讲义 2023—2024学年沪教版（上海）数学九年级第二学期

圆的基本性质（二） 知识点梳理 1、 圆的轴对称性． 圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线都是它的对称轴． 2、 垂径定理． 如果圆的一条直径垂直于一条弦，那么这条直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的弧． 3、 垂径定理的推论． （1）如果圆的直径平分弦（这条弦不是直径），那么这条直径垂直于这条弦，并且平分这条弦所对的弧； （2）如果圆的直径平分弧，那么这条直径就垂直平分这条弧所对的弦； （3）如果一条直线是弦的垂直平分线，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦所对的弧； （4）如果一条直线平分弦和弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且垂直于这条弦； （5）如果一条直线垂直于弦，并且平分弦所对的一条弧，那么这条直线经过圆心，并且平分这条弦． 典型例题分析 1、 垂径定理； 例1、 下列说法错误的是（ ） A、圆绕其圆心旋转任意角度均可与自身重合，因此圆是旋转对称图形，也是中心对称图形． B、圆是轴对称图形，直径是它的对称轴． C、圆是中心对称图形，也是轴对称图形，它有无数条对称轴． D、圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴． 例2、 如下图所示，在中，弦AB的长为6cm，圆心O到AB的距离为4cm，则的半径长为__________． 例3、 已知：点M为内一点，且过点M的最长弦为10cm，最短弦为6cm，则OM的长为________cm． 例4、 如图，已知的半径OC垂直于弦AB，垂足为D，AD长为2cm，弧AB长5cm，求：（1）AB的长；（2）弧AC的长． 例5、 已知AB、CD为的两条平行弦，的半径为10cm，AB＝12cm，CD＝16cm，则AB、CD的距离为___________． 例6、 如图，在半径为6cm的中，两弦AB⊥CD于E，若CE=3cm，DE=7cm，则AB=________cm． 2、 垂径定理的推论； 例7、 如图，已知有一圆弧形拱桥，拱的跨度AB=16m，拱高CD=4m，那么拱形的半径是____m． 例8、 如图，已知中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，以C为圆心，CA为半径作圆交斜边AB于D，则AD的长为_________． 例9、 已知在中，弦AB的长是半径OA的倍，C为弧AB的中点，AB．OC相交于点M．试判断四边形OACB的形状，并说明理由． 例10、 如图，在中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC、BD交直径MN于E、F．求证：ME=NF 例11、 如图AB，CD是的弦，M，N分别是AB，CD的中点，且．求证：AB=CD． 例12、 如下图所示，已知内接与，，，求的值． 例13、 如图，在内，弦CD与直径AB交成角，若弦CD交直径AB于点P，且半径为1，试问：是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 例14、 如图，的直径AB＝15cm，有一条定长为9cm的动弦CD在弧AmB上滑动（点C与点A，点D与B不重合），且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F． （1）求证：AE＝BF（过点O作CD的垂线） （2）在动弦CD滑动的过程中，四边形CDEF的面积是否为定值？若是定值，请给出证明，并求出这个定值，若不是，请说明理由．（定值S=54） 课后练习 练1． 已知的直径AB=10cm，弦CD⊥AB，垂足为M．且OM=3cm，则CD=_____． 练2． D是半径为5cm的内的一点，且DO=3cm，则过点D的所有弦中，最小的弦AB=_______． 练3． 如图，同心圆中，大圆的弦交AB于C,D若AB=4，CD=2，圆心O到AB的距离等于1，那么两个同心圆的半径之比=___________． 练4． 在中，弦AB=10cm，C为劣孤的中点，OC交AB于D，CD=1cm，则的半径是________． 练5． 中，AB、CD是弦，且，且的半径为5cm，连接AD,BC，则梯形ABCD的面积等于__________． 练6． 等腰三角形腰长为4cm，底角为，则外接圆直径为________． 练7． 如图，的直径为10，弦，P是弦AB上的一个动点，那么OP长的取值范围是________． 练8． 如下图所示，的直径为25，P是弦AB的中点，弦CD过点P，且AB＝20，CD＝24，求cos∠APC的值． 练9． 如下图所示，公路MN和公路PQ在P点交会，且∠QPN＝30°，点A处有一所中学，AP＝160cm，假设拖拉机在公路MN上行驶时，周围100米以内会有噪音影响，求学校是否会受到影响，请说明理由，如果受到影响，那么影响的时间为多少？（已知拖拉机的速度为18km/h）． 练10． 已知，不过圆心的直线交于C、D两点，AB是的直径，于E，于F．求证：CE=DF． 课后小测