寒假提升训练（一）-2023-2024学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册

2023～2024学年高二寒假提升训练（一） 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.已知向量a，b，c两两之间的夹角都为60°，其模都为1，则|a－b＋2c|＝(　 　) A． B．5 C．6 D． 2.经过两点A(4,2y＋1)，B(2，－3)的直线的倾斜角为，则y＝(　 　) A．－1 B．－3 C．0 D．2 3. 已知，分别是平面的法向量，若，则（ ） A. B. C. 1 D. 7 4.直线l：x＋y＋4－3a＝0与圆2＋y2＝9相交于A，B两点，则取最小值时，a的值是(　　) A. B．－ C．－ D. 5.设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上的三个点，若，则( ) A.6 B.4 C.3 D. 6.已知点是抛物线上的动点，则直线的斜率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7.已知正四棱锥的各棱长均相等，点是的中点，点是的中点，则异面直线和所成角的余弦值是（ ） A. B. C. D. 8.双曲线：的左、右焦点分别为，，直线过且与双曲线C左支交于点P，原点O到直线的距离为，且，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 给出下列命题，其中是假命题的是（ ） A. 若直线的方向向量，直线的方向向量，则与平行 B. 若直线的方向向量，平面的法向量，则 C. 若平面的法向量分别为，则 D. 若平面经过三点，向量是平面的法向量，则 10.已知直线，圆，点为圆上的任意一点，下列说法正确的是（ ） A.直线恒过定点 B.直线与圆恒有两个公共点 C.直线被圆截得最短弦长为 D.当时，点到直线距离最大值是 11.已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则（ ） A. B. C. 为直角三角形 D. 上存在一点，使得 12.已知正方体的棱长为为的中点，为平面内一动点，则下列命题正确的有（ ） A.若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为 B.若与平面所成的角为，则的轨迹为圆 C.若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线 D.若与所成的角为，则的轨迹为双曲线 三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上) 13.O为空间中任意一点，A，B，C三点不共线，且＝＋＋t ，若P，A，B，C四点共面，则实数t＝________． 14.两条垂直直线l1：2x＋y＋1＝0与l2：ax＋4y－6＝0的交点到原点的距离为________. 15.对任意实数，圆恒过定点，则定点坐标为______. 16.已知椭圆x2＋＝1(0<b<1)的左、右焦点分别为F1，F2，以O(O为坐标原点)为顶点，F2为焦点作抛物线交椭圆于点P，且∠PF1F2＝45°，则抛物线的准线方程是________． 四、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.已知a＝(1，－3，2)，b＝(－2，1，1)，点A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2). (1)求|2a＋b|； (2)在直线AB上，是否存在一点E，使得⊥b？(O为原点) 18.已知动点与两个定点的距离的比是2. （1）求动点的轨迹的方程； （2）直线过点，且被曲线截得的弦长为，求直线的方程. 19.如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC，BD相交于点N，DN＝2BN＝2，PA＝AC＝AD＝3，∠ADB＝30°. (1)求证：AC⊥平面PAD； (2)若点M为PD的中点，求平面PAB与平面MAC夹角的正弦值． 20.在直角坐标系中，抛物线的焦点为，直线与交于两点，且． （1）求的方程； （2）求以线段为直径的圆的方程，并判断其与轴的位置关系． 21.如图，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABCD是一个边长为2的菱形，∠DAB＝60°.侧棱DD1⊥平面ABCD，DD1＝3. (1)求二面角B-D1C-D的平面角的余弦值； (2)设E是D1B的中点，在线段D1C上是否存在一点P，使得AE∥平面PDB？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 22.椭圆的左右焦点分别为，左右顶点为，为椭圆的上顶点，的延长线与椭圆相交于,的周长为，，为椭圆上一点．圆以原点为圆心且过椭圆上顶点. （1）求椭圆的方程； （2）