预习10讲 正弦定理（精讲+精练）-2024年高一数学寒假自学提升课（人教A版2019必修第二册）

2024年高一数学寒假自学精品课（人教A版2019必修第二册） 预习10讲 正弦定理（精讲+精练） ①已知两角和一边解三角形 ②已知两边和其中一边的对角解三角形 ③判断三角形的形状 ④与三角形面积相关的问题 ⑤正余弦定理的综合应用 一、正弦定理 （1）正弦定理的描述 ①文字语言：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等. ②符号语言：在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，则有 （2）正弦定理的推广及常用变形公式 在中， 若角、及所对边的边长分别为，及，其外接圆半径为，则 ① ②；；； ③ ④ ⑤，，（可实现边到角的转化） ⑥，，（可实现角到边的转化） 二、三角形面积公式 三角形面积的计算公式： ①； ②； ③（其中，是三角形的各边长，是三角形的内切圆半径）； ④(其中，是三角形的各边长，是三角形的外接圆半径). 题型一：已知两角和一边解三角形 策略方法 解决已知两角及一边类型的解题方法 (1)若所给边是已知角的对边时,可由正弦定理求另一边,再由三角形内角和定理求出第三个角,最后由正弦定理求第三边. (2)若所给边不是已知角的对边时,先由三角形内角和定理求第三个角,再由正弦定理求另外两边. 【题型精练】 一、单选题 1．在△ABC中，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．在中，已知，，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 3．在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 二、填空题 4．设△ABC内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若，，，则 ． 5．设的内角，，的对边分别是，，，若，，，则 . 6．在中，若，，，则 ． 题型二：已知两边和其中一边的对角解三角形 策略方法 (1)已知两边及其中一边的对角解三角形的思路 ①由正弦定理求出另一边对角的正弦值; ②如果已知的角为大边所对的角时,由三角形中大边对大角,大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角,由正弦值可求锐角; ③如果已知的角为小边所对的角时,则不能判断另一边所对的角为锐角,这时由正弦值可求两个角,要分类讨论. (2)已知两边及其中一边的对角判断三角形解的个数的方法 ①应用三角形中大边对大角的性质以及正弦函数的值域判断解的个数; ②在△ABC中,已知a,b和A,以点C为圆心,以边长a为半径画弧,此弧与除去顶点A的射线AB的公共点的个数即为三角形解的个数,解的个数见下表: A为钝角 A为直角 A为锐角 a>b 一解 一解 一解 a=b 无解 无解 一解 a<b 无解 无解 a>bsin A 两解 a=bsin A 一解 a<bsin A 无解 【题型精练】 一、单选题 1．设的内角的对边分别为，若则的值可以为（    ） A． B． C． D．或 2．中，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．在中，角，，所对的边分别为，，，，，，则此三角形的解的情况是（      ） A．有一解 B．有两解 C．无解 D．有解但解的个数不确定 4．在△ABC中，角 A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 则C=（    ） A． B． C． D． 5．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为 a， b，c，已知， 则cosB=（    ） A． B． C． D． 6．在中，角，，所对的边分别为，，． ，，则（ ） A． B． C． D． 7．已知中，，，，则（    ） A． B．或 C． D．或 8．在中，内角，，所对的边分别为，，，根据下列条件解三角形，其中有两解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 二、多选题 9．在中，，，，则可能为（    ） A． B． C． D． 10．在中，，，则可能为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 11．在中，角的对边分别为，，，．则 ． 12．在中，角、、的对边分别为、、，已知，， ，则 ． 13．在中，已知，，若有两解，则边的取值范围为 . 四、解答题 14．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， (1)若，求b； (2)若，求b． 题型三：判断三角形的形状 策略方法 (1)判断三角形形状时,应围绕三角形的边角关系,利用正弦定理或余弦定理进行边角互化,要么把角转化为边,通过代数变形找出边之间的关系,要么把边转化为角,通过三角变换找出角之间的关系,当然也可以边角同时考虑. (2)在解题中,若出现关于边的齐次式(方程),或关于角的正弦的齐次式(方程),可通过正弦定理,进行边角互化. 【题型精练】 一、单选题 1．已