第14讲 正弦定理（六大题型）-2024年高一数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第14讲 正弦定理 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点一、正弦定理 正弦定理：在一个三角形中各边和它所对角的正弦比相等，即： 知识点诠释： （1）正弦定理适合于任何三角形； （2）可以证明（为的外接圆半径）； （3）每个等式可视为一个方程：知三求一． （4）利用正弦定理可以解决下列两类三角形的问题： ①已知两个角及任意—边，求其他两边和另一角； ②已知两边和其中—边的对角，求其他两个角及另一边． 知识点二、正弦定理在解三角形中的应用 利用正弦定理，可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任一边，求其他两边和一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角； 知识点三：三角形的形状的判定 特殊三角形的判定： （1）直角三角形 勾股定理：， 互余关系：，，； （2）等腰三角形 ，； 用余弦定理判定三角形的形状（最大角的余弦值的符号） （1）在中，； （2）在中，； （3）在中，； 知识点四、三角形面积公式 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则的面积． 知识点五、仰角与俯角 与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角．目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角，如图所示． 【典型例题】 题型一：已知两角及任意一边解三角形 【例1】（2024·全国·高一假期作业）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则（    ） A．8 B．5 C．4 D．3 【变式1-1】（2024·全国·高一随堂练习）在中，已知，，，则边的长为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2024·浙江嘉兴·高一校联考期中）在△ABC中，，，，则边长（    ） A． B． C． D． 题型二：已知两边及其中一边的对角解三角形 【例2】（2024·吉林·高一校考阶段练习）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且， (1)若，求b； (2)若，求b． 【变式2-1】（2024·全国·高一专题练习）不解三角形，判断下列三角形解的个数． (1)，，； (2)，，； (3)，，． 【变式2-2】（2024·四川成都·高一统考期中）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其中，，． (1)求c的值． (2)求的值． 题型三：三角形形状的判断 【例3】（2024·广东佛山·高一佛山市南海区桂华中学校考阶段练习）已知的三内角、、所对的边分别是、、，设向量，，若，且满足，则的形状是（   ） A．等腰直角三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角非等腰三角形 【变式3-1】（2024·江苏徐州·高一统考期中）在中，三个内角，，所对的边分别为，，，若，则的形状为（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【变式3-2】（2024·高一校考单元测试）在中，角、、所对的边分别为、、，且，则的形状为（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3-3】（2024·广东佛山·高一罗定邦中学校联考阶段练习）在中，角的对边分别为，若，则的形状为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形 题型四：三角形面积公式及其应用 【例4】（2024·上海宝山·高一上海交大附中校考期末）在中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且. (1)求； (2)若，的周长为3，求的面积S. 【变式4-1】（2024·全国·高一随堂练习）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，且. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【变式4-2】（2024·河南平顶山·高一校考阶段练习）的内角，，所对的边分别为，，，向量与平行． (1)求； (2)若，，求的面积． 【变式4-3】（2024·全国·高一随堂练习）在中，角，，的对边分别为，，，向量，，且． (1)求的值； (2)若，，求的面积． 题型五：判断三角形解的个数 【例5】（2024·河北石家庄·高一石家庄市第十七中学校考期中）设的角，，所对的边分别为，，，且，，当有两个解时，的取值范围是 . 【变式5-1】（2024·四川泸州·高一统考期末）已知a，b，c分别是的内角A，B，C的对边，写出“使满足，的唯一”的a的一个取值为 ． 【变式5-2】（2024·浙江台州·高一统考期末）在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，已知，，，若有两解，则的取值范围是 . 【变式5-3】（2024·河北张家口·高一统考期中）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，，符合条件的三角形有两个，则b的取值范围是 ． 题型六：用正弦定理解决简单的实际问题 【例6】（2024·辽宁沈阳·高