第11讲 二倍角的三角函数（七大题型）-2024年高一数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第11讲 二倍角的三角函数 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点一：二倍角公式的逆用及变形 1、公式的逆用 ；． ． ． 2、公式的变形 ； 降幂公式： 升幂公式： 知识点二：升（降）幂缩（扩）角公式 升幂公式：， 降幂公式：， 知识点诠释： 利用二倍角公式的等价变形：，进行“升、降幂”变换，即由左边的“一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 知识点三：辅助角公式 1、形如的三角函数式的变形： 令，，则 （其中角所在象限由的符号确定，角的值由确定，或由和共同确定．） 2、辅助角公式在解题中的应用 通过应用公式（或），将形如（不同时为零）收缩为一个三角函数（或）．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数，这样做有利于函数式的化简、求值等． 【典型例题】 题型一：二倍角公式的简单应用 【例1】（2024·全国·高一专题练习）求下列各式的值: (1) (2) (3) (4) 【变式1-1】（2024·云南文山·高一校考期末）已知， (1)求的值； (2)求的值． 【变式1-2】（2024·高一课时练习）利用二倍角公式求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型二：给角求值 【例2】（2024·广东佛山·高一统考竞赛） . 【变式2-1】（2024·河北邢台·高一邢台市第二中学校联考阶段练习） ． 【变式2-2】（2024·河北保定·高一校联考期末） ． 题型三：给值求值 【例3】（2024·全国·高一专题练习）若，则 ． 【变式3-1】（2024·全国·高一专题练习）若，则的值为 【变式3-2】（2024·四川乐山·高一统考期末）若，则 ． 【变式3-3】（2024·全国·高一专题练习）已知,则 . 题型四：利用倍角公式化简及证明 【例4】（2024·全国·高一课堂例题）化简． 【变式4-1】（2024·全国·高一课堂例题）化简： (1)； (2)； (3)． 【变式4-2】（2024·高一课时练习）证明：. 【变式4-3】（2024·高一课时练习）证明：. 题型五：辅助角公式的应用 【例5】（2024·全国·高一专题练习）函数y＝sin x＋cos x－sin xcos x的值域为 ． 【变式5-1】（2024·高一课时练习）关于点对称，则a的值为 . 【变式5-2】（2024·四川成都·高一四川省成都市新都一中校联考期末）已知函数，，恒成立，则 ． 题型六：三角函数的实际应用 【例6】（2024·江苏镇江·高一校联考阶段练习）海安市实验中学校训镶嵌在墙壁上，上端距离地面15米，下端距离地面11米，现小明同学要拍摄校训照片，相机镜头离地面1米，要使得校训的上下端与镜头构成的视角最大，问相机镜头距离墙面应 米.    【变式6-1】（2024·山东济南·高一山东师范大学附中校考）魏晋南北朝时期，祖冲之利用割圆术以正24576边形，求出圆周率约等于，和相比，其误差小于八亿分之一，这个记录在一千年后才被打破．若已知的近似值还可以表示成，则的值约为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2024·河北保定·高一校联考期末）著名数学家华罗庚先生被誉为“中国现代数学之父”，他倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了非常广泛的应用.黄金分割比，现给出三倍角公式，则与的关系式正确的为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（2024·全国·高一专题练习）在解决问题“已知，请用m表示的值”时，甲的结果为，乙的结果为，则下列结论正确的是（    ） A．甲、乙的结果都正确 B．甲的结果正确、乙的结果错误 C．甲的结果错误、乙的结果正确 D．甲、乙的结果都错误 题型七：三角恒等变换与三角函数图象性质的综合 【例7】（2024·内蒙古赤峰·高一统考期末）已知函数，且 (1)求常数的值； (2)求使成立的实数的取值集合． 【变式7-1】（2024·吉林·高一校联考期末）已知函数． (1)求在上的最大值； (2)若，求的值； (3)若，求的值． 【变式7-2】（2024·黑龙江·高一校联考期末）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)求在区间上的单调性及最值. 【变式7-3】（2024·宁夏银川·高一校考期末）已知函数. (1)求函数的最小正周期； (2)求该函数的单调递增区间； (3)求函数在区间上的最小值和最大值. 【变式7-4】（2024·吉林·高一长春外国语学校校联考期末）设函数. (1)求的最小正周期和单调递增区间； (2)试讨论函数在上零点的个数. 【过关测试】 一、单选