第09讲 向量应用（四大题型）-2024年高一数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第09讲 向量应用 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点一：向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 知识点二：向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： （1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题． （2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． （3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． （4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 【典型例题】 题型一：利用向量证明平面几何问题 【例1】（2024·高一课时练习）在中，是三条边上的高，求证：相交于一点. 【变式1-1】（2024·全国·高一随堂练习）用向量的方法证明在等腰三角形ABC中，，点M为边BC的中点，求证：． 【变式1-2】（2024·河南信阳·高一校联考期末）已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．    (1)请用，表示向量； (2)若，设，的夹角为，若，求证：． 【变式1-3】（2024·四川凉山·高一阶段练习）用向量的方法证明如图，在中，点E，F分别是AD和DC边的中点，BE，BF分别交AC于点R，T．你能发现AR，RT，TC之间的关系吗？    题型二：利用向量解决平面几何求值问题 【例2】（2024·江西九江·高一统考期末）已知四边形ABCD是边长为2的菱形，，P为平面ABCD内一点，AC与BP相交于点Q． (1)若，，求x，y的值； (2)求最小值． 【变式2-1】（2024·湖北荆州·高一沙市中学校考期末）已知中，,，是线段上一点，且，是线段上的一个动点. (1)若，求（用的式子表示）； (2)求的取值范围. 【变式2-2】（2024·广东佛山·高一顺德一中校考期末）已知正六边形ABCDEF的边长为1， (1)当点M满足__________时，． （注：无需写过程，填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况） (2)若点H是正六边形ABCDEF内或其边界上的一点，求的取值范围． 题型三：向量在物理中的应用 【例3】（2024·全国·高一随堂练习）如图，在细绳l上作用着一个大小为200N的力，与水平方向的夹角为45°，细绳上挂着一个重物，使细绳的另一端与水平面平行，求物重G的大小．    【变式3-1】（2024·全国·高一随堂练习）如图，在一场足球比赛中，中场队员在点A位置得球，将球传给位于点B的左边锋，随即快速直向插上．边锋得球后看到对方后卫上前逼抢，于是将球快速横传至门前，球到达点C时前插的中场队员正好赶到，直接射门得分．设，．（取）    (1)求中场队员从传球至射门这一过程中足球的位移； (2)这一过程中中场队员的位移与球的位移是否相等？ 【变式3-2】（2024·全国·高一随堂练习）如图，一艘船从长江南岸点A出发，以km/h的速度垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h．    (1)试用向量表示江水速度、船速以及该船实际航行的速度； (2)求船实际航行速度的大小与方向（方向用与江水速度间的夹角表示）． 【变式3-3】（2024·高一课时练习）两个力作用于同一质点，使该质点从点移动到点（其中分别是与轴、轴同方向的单位向量）．求： (1)分别对该质点做的功； (2)的合力对该质点做的功． 题型四：平面几何中的平行（共线）问题 【例4】（2024·安徽阜阳·高一安徽省太和中学校考阶段练习）如图，的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H．若与共线，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·高一课时练习）已知，，，，，则以，为邻边的平行四边形的对角线的长为 ． 【变式4-2】（2024·高一课时练习）已知平行四边形的三个顶点的坐标分别为，，，求第四个顶点的坐标． 【变式4-3】（2024·高一课时练习）如图所示，分别在平行四边形的对角线的延长线和反向延长线上取点和点，使.试用向量方法证明：四边形是平行四边形. 【过关测试】 一、单选题 1．（2024·河南新乡·高一统考期末）若平面上的三个力，，作用于一点，且处于平衡状态．已知，，与的夹角为，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽黄山·高一统考期末）某河流南北两岸平行，一艘游船从南岸码头A出发航行到北岸，假设游船在静水中的航行速度的大小为，水流的速度的大小为，设和的夹角为，北岸的点B在A的正北方向，游船正好到达B处时，（    ） A． B． C． D． 3．（2024·陕西宝鸡·高一统考期