第15讲 余弦定理、正弦定理的应用（六大题型）-2024年高一数学寒假衔接知识自学讲义（苏教版2019）

第15讲 余弦定理、正弦定理的应用 【题型归纳目录】 【知识点梳理】 知识点一、测量中的常用角 名称 定义 示例 方位角 从指北方向线顺时针转到目标方向线的角 点A的方位角为225° 方向角 正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角 点A的方向角为南偏西45°（或称西南方向） 知识点二、常见问题的测量方案 1、距离问题 类型 简图 测量 两点A，B均可达 先选定适当的位置C，用测角器测出角α，再分别测出AC，BC的长b，a，则可求出A，B两点间的距离，即 两点A，B可视，但有一点不可达 在A所在的岸边选定一点C，可以测出AC的距离m，再借助仪器，测出，，那么在△ABC中，已知两角及一边，运用正弦定理就可以求出AB 两点A，B可视，均不可达 测量者可以在河岸选定两点C，D，测得，同时在C，D两点分别测得，，，．在和中，由正弦定理计算出AC和BC后，再在中，应用余弦定理计算出A，B两点间的距离 2、高度问题 类型 简图 测量方案 底部可达 测得，， 底部不可达 点B与C，D共线 测得及C与的度数 先由正弦定理求出AC或AD，再解直角三角形得AB的值． 点B与C，D不共线 测得及∠BCD，∠BDC，∠ACB的度数． 在△BCD中由正弦定理求得BC，再解直角三角形得AB的值 【典型例题】 题型一：距离问题 【例1】（2024·四川资阳·高一统考期末）为捍卫国家南海主权，我海军在南海海域进行例行巡逻.某天，一艘巡逻舰从海岛出发，沿南偏东的方向航行40海里后到达海岛，然后再从海岛出发，沿北偏东的方向航行了海里到达海岛，若巡逻舰从海岛出发沿直线到达海岛，则航行的方向和路程（单位：海里）分别为（    ） A．北偏东 B．北偏东 C．北偏东 D．北偏东 【变式1-1】（2024·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期末）已知飞机的飞行航线AB和地面目标C在同一铅直平面内，在A处测得目标C的俯角为30°，飞行26到达B处，测得目标C的俯角为75°，此时B处与地面目标C的距离为（    ）    A． B． C．5 D． 【变式1-2】（2024·云南曲靖·高一校考期末）如图所示，为了测量湖中两处亭子间的距离，湖岸边现有相距100米的甲､乙两位测量人员，甲测量员在处测量发现亭子位于北偏西亭子位于东北方向，乙测量员在处测量发现亭子位于正北方向，亭子位于北偏西方向，则两亭子间的距离为（    ）    A．米 B．米 C．米 D．米 题型二：高度问题 【例2】（2024·陕西商洛·高一校考期末）如图，八卦桥（图1）是洛南县地标性建筑之一，它是一个八边形人行天桥，桥的中心处建有一座五层高的宝塔（图2），晚上宝塔上的霓虹灯流光溢彩非常美丽.某同学为了测量宝塔的高度，在塔底部同一水平线上选取了C，D两点，测得塔的仰角分别为和，C，D间的距离是12米.则宝塔的高度AB是（    ）米.（结果保留根号）    A． B． C． D． 【变式2-1】（2024·辽宁鞍山·高一校考期末）如图，小明想测量自己家所在楼对面的电视塔的高度，他在自己家阳台M处，M到楼地面底部点N的距离为，假设电视塔底部为E点，塔顶为F点，在自己家所在的楼与电视塔之间选一点P，且E，N，P三点共处同一水平线，在P处测得阳台M处、电视塔顶处的仰角分别是和，在阳台M处测得电视塔顶F处的仰角，假设，和点P在同一平面内，则小明测得的电视塔的高为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·四川绵阳·高一四川省绵阳南山中学校考期末）中国历史文化名楼之一的越王楼，位于四川省绵阳市游仙区涪江畔，更因历代诗人登楼作诗而流芳后世.如图，某同学为测量越王楼的高度，在越王楼的正东方向找到一座建筑物，高约为49m，在地面上点处（B，C，N三点共线）测得建筑物顶部A，越王楼顶部的仰角分别为和，在A处测得楼顶部的仰角为，则越王楼的高度约为（    ）    A．69m B．95m C．98m D．99m 题型三：角度问题 【例3】（2024·重庆·高一重庆市大学城第一中学校校考期末）一艘游轮航行到处时看灯塔在的北偏东，距离为海里，灯塔在的北偏西，距离为海里，该游轮由沿正北方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏东方向，则此时灯塔位于游轮的（　　） A．正西方向 B．南偏西方向 C．南偏西方向 D．南偏西方向 【变式3-1】（2024·湖北武汉·高一校联考阶段练习）已知甲船在海岛的正南A处，海里，甲船以每小时4海里的速度向正北航行，同时乙船自海岛出发以每小时6海里的速度向北偏东60°的方向驶去，当航行一小时后，甲船在乙船的（    ） A．北偏东30°方向 B．北偏东15°方向 C．南偏西30°方向