函数的周期性和对称性问题 专题讲义-2024届高三数学二轮专题

函数的周期性和对称性问题 考点一：函数的周期性问题 1．周期函数的定义： 对于函数定义域内的每一个，都存在一个非零常数T，使得恒成立，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2．函数周期性的常用结论： 函数满足对定义域内任意一个实数（其中为常数）： 条件 周期 关于直线和对称 关于点和点对称 关于直线和点对称 考点二：函数的对称性问题 1．函数对称性的常用结论： ①若，则函数关于对称； ②若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称； ③若，则函数关于点对称． 2．周期性与对称性的关系： （口诀：“内同表周期性，内反表对称性”） ①若则具有周期性； ②若则具有对称性． 题型一：函数周期性的应用 【典例1-1】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，，则f(919)＝ . 【变式1】已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则 A． B． C． D． 【典例1-2】已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 题型二：函数对称性的应用 【典例2-1】偶函数的图象关于直线对称，，则 ． 【变式1】设函数的图像与的图像关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【典例2-2】函数的图像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】函数的图象与函数图象的所有交点的横坐标之和为 . 【变式2】已知函数f（x）（x∈）满足f（x）=f（2−x），若函数 y=|x2−2x−3|与y=f（ x）图像的交点为（x1,y1），（x2,y2），…，（xm,ym），则 A．0 B．m C．2m D．4m 【变式3】已知函数满足，若函数与图像的交点为则 A．0 B． C． D． 【变式4】已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：函数性质的综合应用 【典例3-1】已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A． B． C． D． 【典例3-2】奇函数的定义域为，若为偶函数，且，则 A． B． C． D． 【变式1】已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】函数的定义域为R，若与都是奇函数，则（    ） A．是偶函数 B．是奇函数 C． D．是奇函数 【变式3】设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ） A． B． C． D． 【变式4】已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则下列说法中错误的是（    ） A．函数是周期函数； B．函数的图象关于点对称； C．函数为上的偶函数； D．函数为上的单调函数． 【典例3-3】已知定义在R上的奇函数满足，且在区间上是增函数,若方程在区间上有四个不同的根，则 【典例3-4】已知函数的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列结论不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知函数及其导函数的定义域均为，记，若，均为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数的周期性和对称性问题 考点一：函数的周期性问题 1．周期函数的定义： 对于函数定义域内的每一个，都存在一个非零常数T，使得恒成立，那么就称函数为周期函数，称T为这个函数的周期．如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做的最小正周期． 2．函数周期性的常用结论： 函数满足对定义域内任意一个实数（其中为常数）： 条件 周期 关于直线和对称 关于点和点对称 关于直线和点对称 考点二：函数的对称性问题 1．函数对称性的常用结论： ①若，则函数关于对称； ②若f(x)＋f(2a－x)＝2b，则函数f(x)关于点(a，b)对称； ③若，则函数关于点对称． 2．周期性与对称性的关系： （口诀：“内同表周期性，内反表对称性”） ①若则具有周期性； ②若则具有对称性． 题型一：函数周期性的应用 【典例1-1】已知f(x)是定义在R上的偶函数，且f(x＋4)＝f(x－2)．若当x∈[－3,0]时，，则f(919)＝ . 【答案】6 【分析】先求函数周期，再根据周期以及偶函数性质化简，再代入求值. 【详解】由f(x+4)=f(x-2)可知,是周期函数,且,所以 . 【变式1】已知函数的定义域为.当时，；当时，；当时，.则 A． B．