专题05 平面向量基本定理（6大考点，知识串讲+热考题型+专题训练）-【寒假自学课】2024年高一数学寒假提升学与练（苏教版2019）

专题05 平面向量基本定理 知识聚焦 考点聚焦 知识点01 平面向量基本定理 1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使 2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底． 3、对平面向量基本定理的理解 （1）基底不唯一，只要是同一平面内的两个不共线向量都可以作为基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的． （2）基底给定时，分解形式唯一．是被唯一确定的数值． （3）是同一平面内所有向量的一组基底，则当与共线时，；当与共线时，；当时，． （4）由于零向量与任何向量都是共线的，因此零向量不能作为基底中的向量． 知识点02 平面向量基本定理的应用 1、唯一性的应用： 设，是同一平面内的两个不共线向量， 若，则 2、重要结论 设是平面内一个基底，若， ①当时，与共线；②当时，与共线；③当时，； 知识点03 平面向量的正角分解 由平面基本定理知，平面内任意向量可以用一组基底表示成的形式，我们称为向量的分解。当所在直线互相垂直时，这种分解也称为向量的正交分解。 · 考点剖析 考点1 平面向量基本定理的概念 【例1】（2023·全国·高一专题练习）下面说法中，正确的是( ) ①一个平面内只有一对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ②一个平面内有无数多对不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底； ③零向量不可作为基底中的向量； ④对于平面内的任一向量和一组基底，，使=λ+μ成立的实数对一定是唯一的. A．②④ B．②③④ C．①③ D．①③④ 【变式1-1】（2023·全国·高一专题练习）下列说法错误的是（ ） A．一条直线上的所有向量均可以用与其共线的某个非零向量表示 B．平面内的所有向量均可以用此平面内的任意两个向量表示 C．平面上向量的基底不唯一 D．平面内的任意向量在给定基底下的分解式唯一 【变式1-2】（2023·河南新乡·高一原阳一中校考阶段练习）（多选）下列结论正确的是（ ） A．一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底 B．若，是单位向量)，则 C．向量与共线存在不全为零的实数使 D．已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若则 【变式1-3】（2023·高一课时练习）如果、是平面内两个不共线的向量，那么在下列各说法中错误的有（ ） ①可以表示平面内的所有向量； ②对于平面中的任一向量，使的，有无数多对； ③若向量与共线，则有且只有一个实数，使； ④若实数，使，则． A．①② B．②③ C．③④ D．仅② 考点2 判断两向量能否作为基底 【例2】（2023·黑龙江齐齐哈尔·高一齐齐哈尔中学校考期中）设是平面内所有向量的一个基底，则下列不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【变式2-1】（2023·安徽阜阳·高一校考阶段练习）（多选）设是平面内两个不共线的向量，则以下可作为该平面内一组基底的是（ ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2023·山西·高一校联考阶段练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A．、 B．、 C．、 D．、 【变式2-3】（2023·全国·高一专题练习）如果表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（ ） A． B． C． D． 考点3 基底表示向量（1） 【例3】（2023·陕西·高一校联考期中）如图，在中，设，，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2023·安徽芜湖·高一无为襄安中学校考期中）在中，为边上的中线，为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2023·全国·高一随堂练习）如图，已知，，分别是三边，，上的点，且，，，如果，，试用基底表示向量，，. 【变式3-3】（2023·重庆·高一校联考期中）在平行四边形ABCD中，设M为线段BC的中点，N为线段AD上靠近D的三等分点，，，则向量（ ） A． B． C． D． 考点4 基底表示向量（2） 【例4】（2023·重庆·高一临江中学校考阶段练习）如图所示，在中，点是的中点，且，与相交于点，设，，则等于（ ）. A． B．