第03讲 向量的数量积（知识解读+题型归纳+随堂测试）-2023-2024学年高一数学《知识解读•题型专练》（人教A版2019必修第二册）

第03讲 向量的数量积 考点1：平面向量的数量积 (1) 已知两个非零向量和，作＝，＝，∠AOB＝θ(0≤θ≤)叫作向量与的夹角．记作，并规定.如果与的夹角是，就称与垂直，记为. (2) ||| |cos 叫作与的数量积(或内积)，记作,即＝| || |cos . 规定：零向量与任一向量的数量积为0.两个非零向量与垂直的充要条件是=0. 两个非零向量与平行的充要条件是＝| || |. 考点2：平面向量数量积的几何意义 数量积等于的长度| |与在方向上的射影| |cos θ的乘积．即＝| || |cos θ.( 在方向上的射影| |cos θ;在方向上的射影| |cosθ). 考点3：平面向量数量积的重要性质 性质1 . 性质2 性质3 当与同向时；当当与反向时. 或. 性质4 性质5 注意：利用向量数量积的性质2可以解决有关垂直问题；利用性质3可以求向量长度；利用性质4可以求两向量夹角；利用性质5可解决不等式问题. 考点4：平面向量数量积满足的运算律 （1）（交换律）； （2）为实数）； （3）（分配律）。 数量积运算法则满足交换律、分配律，但不满足结合律，不可约分 . 【题型1 向量的投影】 【典例1】向量，夹角为，且，|，则在方向上的投影的数量等于（    ） A．4 B．2 C．1 D． 【变式1-1】已知，，，则在方向上的投影向量是 . 【变式1-2】如图所示，求出以下向量的数量积．    (1)； (2)； (3)． 【变式1-3】已知与的夹角为. (1)求； (2)求在上的投影向量的模长. 【题型2 向量数量积的计算】 【典例2】已知向量与的夹角为，且，求： (1)； (2) 【变式2-1】已知，，与的夹角为，计算下列各式： (1)； (2)． 【变式2-2】已知向量，，与的夹角为.求 (1) (2)求； (3)求. 【题型3求向量的夹角(夹角的余弦值)】 【典例3】已知向量，满足，，. (1)求； (2)若，，求. 【变式3-1】已知，，，求与的夹角． 【变式3-2】已知，，. (1)求； (2)求向量与的夹角的余弦值. 【变式3-3】已知向量与的夹角，且，. (1)求与的夹角的余弦值. (2)若，求在上的投影向量的坐标. 【题型4 已知向量的夹角求参数】 【典例4】已知，，与的夹角是. (1)计算； (2)当k为何值时，？ 【变式4-1】已知的夹角为， (1)求的值； (2)当为何值时，. 【变式4-2】设向量，满足，，满足． (1)判断与能否垂直； (2)若与的夹角为，求实数的值． 【变式4-3】如图，在平行四边形中，，垂足为. (1)若，求的长； (2)设，求的值. 【题型5 向量的模】 【典例5】已知平面向量满足． (1)求与的夹角； (2)求在方向上的投影向量的模． 【变式5-1】已知，，且向量与的夹角为，则向量的模为 . 【变式5-2】已知非零向量满足，且，则向量的模长为 ． 【变式5-3】已知非零向量，满足=2，则向量的模是（ ） A．4 B． C．2 D． 【题型6 向量数量积的最值问题】 【典例6】已知向量，满足，，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式6-1】若，且，则的最大值为 . 【变式6-2】已知向量满足，则的最大值是 ，最大值是 ． 【变式6-3】如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，，点M为线段上的动点，则的最大值为（    ）    A． B． C．6 D．10 一、单选题 1．在边长为2的等边中，的值是（    ） A．4 B． C．2 D． 2．已知，，且，的夹角为，则（    ） A．1 B． C．2 D． 3．若向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．设向量，满足，，则（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 5．已知非零向量满足，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 6．在中，满足，，，则（    ） A． B．0 C．25 D．65 7．已知单位向量与单位向量的夹角为，则（    ） A．2 B． C． D．1 8．已知向量满足，，，则（    ） A． B． C．5 D．20 9．已知非零向量，满足，且，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．1 10．中，，，则的面积为（    ） A． B． C． D．2 11．已知为单位向量，若，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 12．设向量，，若，则 ． 13．已知为平面向量，．若在方向上的