3.7 二次函数与一元二次方程教案 2023—2024学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

二次函数与一元二次方程 【课时安排】 2课时 【第一课时】 【教学目标】 （一）教学知识点。 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，理解何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根。 3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）交点的横坐标。 （二）能力训练要求。 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，培养学生的探索能力和创新精神。 2．通过观察二次函数图像与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况，进一步培养学生的数形结合思想。 3．通过学生共同观察和讨论，培养大家的合作交流意识。 （三）情感与价值观要求。 1．经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性。 2．具有初步的创新精神和实践能力。 【教学重点】 1．体会方程与函数之间的联系。 2．理解何时方程有两个不等的实根，两个相等的实数和没有实根。 3．理解一元二次方程的根就是二次函数与y＝h（h是实数）交点的横坐标。 【教学难点】 1．探索方程与函数之间的联系的过程。 2．理解二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。 【教学方法】 讨论探索法。 【教学过程】 一、创设问题情境，引入新课 师：我们学习了一元一次方程kx＋b＝0（k≠0）和一次函数y＝kx＋b（k≠0）后，讨论了它们之间的关系。当一次函数中的函数值y＝0时，一次函数y＝kx＋b就转化成了一元一次方程kx＋b＝0，且一次函数y＝kx＋b（k≠0）的图像与x轴交点的横坐标即为一元一次方程kx＋b＝0的解。 现在我们学习了一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）和二次函数y＝ax2＋bx＋c（a≠0），它们之间是否也存在一定的关系呢？本节课我们将探索有关问题。 二、讲授新课 （一）例题讲解 展示例题： 我们已经知道，竖直上抛物体的高度h（m）与运动时间t（s）的关系可以用公式h＝－5t2＋v0t＋h0表示，其中h0（m）是抛出时的高度，v0（m/s）是抛出时的速度。一个小球从地面被以40m/s的速度竖直向上抛起，小球的高度h（m）与运动时间t（s）的关系如下图所示，那么： 1．h与t的关系式是什么？ 2．小球经过多少秒后落地？你有几种求解方法？与同伴进行交流。 3．师：请大家先发表自己的看法，然后再解答。 生：（1）h与t的关系式为h＝－5t2＋v0t＋h0，其中的v0为40m/s，小球从地面被抛起，所以h0＝0。把v0，h0代入上式即可求出h与t的关系式。 （2）小球落地时h为0，所以只要令h＝－5t2＋v0t＋h0。中的h为0，求出t即可。 还可以观察图像得到。 师：很好。能写出步骤吗？ 生：解： （1）∵h＝－5t2＋v0t＋h0， 当v0＝40，h0＝0时， h＝－5t2＋40t。 （2）从图像上看可知t＝8时，小球落地或者令h＝0，得： －5t2＋40t＝0， 即t2－8t＝0。 ∴t（t－8）＝0。 ∴t＝0或t＝8。 t＝0时是小球没抛时的时间，t＝8是小球落地时的时间。 （二）议一议 展示： 二次函数： 1．y＝x2＋2x， 2．y＝x2－2x＋1， 3．y＝x2－2x＋2的图像如下图所示。 （1）每个图像与x轴有几个交点？ （2）一元二次方程x2＋2x＝0，x2－2x＋1＝0有几个根？用判别式验证一下：一元二次方程x2－2x＋2＝0有根吗？ （3）二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根有什么关系？ 4．师：还请大家先讨论后解答。 生：（1）二次函数y＝x2＋2x，y＝x2－2x＋1，y＝x2－2x＋2的图像与x轴分别有两个交点，一个交点，没有交点。 （2）一元二次方程x2＋2x＝0有两个根0，－2；方程x2－2x＋1＝0有两个相等的根1或一个根1；方程x2－2x＋2＝0没有实数根。 （3）从观察图像和讨论中可知，二次函数y＝x2＋2x的图像与x轴有两个交点，交点的坐标分别为（0，0），（－2，0），方程x2＋2x＝0有两个根0，－2； 二次函数y＝x2－2x＋1的图像与x轴有一个交点，交点坐标为（1，0），方程x2－2x＋1＝0有两个相等的实数根（或一个根）1；二次函数y＝x2－2x＋2的图像与x轴没有交点，方程x2－2x＋2＝0没有实数根。 由此可知，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和x轴交点的横坐标即为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根。 师：大家总结得非常棒。 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴的交点有三种情况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴有交点时，交点的横坐标