3.6 二次函数的应用教案 2023—2024学年鲁教版（五四制）数学九年级上册

二次函数的应用 【课时安排】 2课时 【第一课时】 【教学目标】 （一）教学知识点。 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值。 （二）能力训练要求。 1．通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力。 2．通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。 （三）情感与价值观要求。 1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值。 2．能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格。 3．进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力。 【教学重点】 1．经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，进一步获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值。 2．能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题。 【教学难点】 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题。 【教学方法】 教师指导学生自学法。 【教学过程】 一、创设问题情境，引入新课 师：本节课我们来学习用二次函数来解决实际问题。解决这类问题的关键是要读懂题目，明确要解决的是什么，分析问题中各个量之间的关系，把问题表示为数学的形式，在此基础上，利用我们所学过的数学知识，就可以一步步地得到问题的解。 本节课我们将继续利用二次函数解决最大面积问题。 二、新课讲解 （一）例题讲解 展示例题： 1．如下图，在一个直角三角形的内部作一个长方形ABCD。其中AB和AD分别在两直角边上。 （1）设长方形的一边AB＝x m，那么AD边的长度如何表示？ （2）设长方形的面积为y m2当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？ 2．师：分析： （1）要求AD边的长度，即求BC边的长度，而BC是△EBC中的一边，因此可以用三角形相似求出BC．由△EBC∽△EAF，得所以AD=BC=（40－x）。 （2）要求面积的最大值。即求函数y=AB·AD=x·（40－x）的最大值，就转化为数学问题了。 下面请大家讨论写出步骤。 3．生：（1）∵BC//AD ∴△EBC∽△EAF。 ∴ 又AB＝x，BE=40－x， ∴。 ∴BC=（40－x）。 ∴AD＝BC=（40－x）＝30－x。 （2）y＝AB·AD=x（30－x）=－x2+30x =－（x2－40x+400－400） =－（x2－40x+400）+300 =－（x－20）2+300 当x=20时，y最大=300。 即当x取20m时，y的值最大，最大值是300m2。 师：很好。刚才我们先进行了分析。要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了，大家觉得用数学知识解决实际问题很难吗？ 生：不很难。 师：下面我们换一个条件。看看大家能否解决。设AD边的长为x m，则问题会怎样呢？与同伴交流。 生：要求面积需求AB的边长，而AB＝DC，所以需要求DC的长度，而DC是△FDC中的一边，所以可以利用三角形相似来求。 解：∵DC//AB ∴△FDC∽△FAE ∵AD=x，FD＝30－x ∴ ∴DC=（30－x） ∴AB=DC=（30－x） y=AB·AD=x·（30－x） =－x2+40x =－（x2－30x+225－225） =－（x－15）2+300 当x=15时，y最大=300 即当AD的长为15m时，长方形的面积最大，最大面积是300m2。 （二）做一做 展示例题： 某建筑物的窗户如下图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15 m，当x等于多少时，窗户通过的光线最多（结果精确到0.01m）？此时，窗户的面积是多少？ 师：通过刚才的练习，这个问题自己来解决好吗？ 生：可以。 分析：x为半圆的半径，也是矩形的较长边，因此x与半圆面积和矩形面积都有关系。要求透过窗户的光线最多，也就是求矩形和半圆的面积之和最大，即2xy+x2最大，而由于4y+4x+3x+πx=7x+4y+πx=15，所以y=。 面积S=πx2+2xy=πx2+2x·=πx2+=－3.5x2+7.5x，这时已经转化为数学问题即二次函数了，只要化为顶点式或代入顶点坐标公式中即可。 解：∵7x+4y－πx＝15 ∴y= 设窗户的面积是S（m2），则 S=πx2+2xy =πx2+2x· =πx2+ =－3.5x2+7.5x =－3.5（x2－x） =－3.5(x－。 ∴当x＝≈1.07时