3.6 二次函数的应用 同步练习 2025-2026学年鲁教版（五四制）九年级数学上册

2025—2026二次函数的应用复习 题型一 销售问题 1.某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x元（x为整数），每天销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 2.某宾馆有50个房间，供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空置．如果旅客居住房间，宾馆需对每个房间支出20元的各种费用．若设定价增加元，宾馆获得利润为元． (1)宾馆有__________个房间有游客居住，的取值范围为__________； (2)求宾馆可获得的最大利润． 3.（1）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，商场的头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． （2）某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． ①要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ ②若商店规定降价金额不超过30元且不少于5元，请求出降价多少元时一天能取得最大利润，并求出利润最大值． 4.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克． ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元； ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 题型二 投球问题 1．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（   ） A． B． C． D． 2.九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 3.某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 题型三 拱桥问题 1.湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． 游船参数：长米，宽米， 满员后游船露出水面高度为米 (1)求抛物线的解析式； (2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？ 2.一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 3.某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 题型四 图形问题 1.如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米． (1)求关于的函数表达式． (2)如果要围成面积为平方米的花圃，的长为多少米？ (3)平方米是否为花圃能围成的最大面积？若是，请说明理由；若不是，请求出花圃的最大面积． 2.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门．已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为27米． (1)假设垂直于墙的一道墙长为，饲养室面积为，求S关于x的函数关系式． (2)能建成的饲养室面积最大为多少平方米？ 3.如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 4．如图三角形，，是边上的高．分别是边上的点，是上的点，连接，交于． (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和的长． 5.如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A，C分别在轴、轴上，点分别是边、上的动点，且．设，的面积为． (1)用含的式子表示； (2)当的值为多少时，的值最小？求这个最小值． 题型五 图形运动问题 1．如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B．C． D． 2.如图，在矩形中，，点 Q从点B出发，以的速度沿 方向运动到点 C 停止，同时点P 从点 B 出发，以的速度沿路线 B→A→D→C 运动到点C 停止.若 的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则下列最能反映y与x之间的函数关系的图象是（    ） A． B． B． C． D． 3.如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4.在中，，，，，分别是，的中点，点，分别从点，出发，沿折线方向运动，运动速度都是1个单位长度/秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则与之间的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 5.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 6.在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026二次函数的应用复习 题型一 销售问题 1.某商场以每件20元的价格购进一批商品，如果以每件30元销售，那么每天可售出100件．经调查发现，这种商品的销售单价每上涨1元，每天销售量就减少10件．设销售单价上涨x元（x为整数），每天销售利润为y元． (1)求y与x之间的函数关系式． (2)求销售单价定为多少元时，每天销售利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)与之间的函数关系式为 (2)销售单价定为30元时，每天销售利润最大，最大利润是1000元 【分析】本题主要考查二次函数的应用． （1）由题意易得销售量为件，然后根据“销售利润单个利润销售量”可进行求解； （2）由（1）及根据二次函数的性质可直接进行求解． 【详解】（1）解：由题意得 ， 答：与之间的函数关系式为； （2）解：由（）得， ∵， ∴当时，有最大值为， ∴销售单价定为（元）， 答：当销售单价定为元时，每天销售该商品的利润最大，最大利润为元． 2.某宾馆有50个房间，供游客居住，当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空置．如果旅客居住房间，宾馆需对每个房间支出20元的各种费用．若设定价增加元，宾馆获得利润为元． (1)宾馆有__________个房间有游客居住，的取值范围为__________； (2)求宾馆可获得的最大利润． 【答案】(1)，且x是10的倍数； (2)宾馆可获得的最大利润为10890元 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空置，列出代数式即可，根据宾馆总共有50个房间，求出的范围即可； （2）根据总利润等于单个房间的利润乘以有人居住的房间数，列出函数关系式，利用二次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：由题意，宾馆有个房间有游客居住， ，解得， 故且x是10的倍数； （2）由题意，， 整理得：， ∴当元时，有最大值为； 答：宾馆可获得的最大利润为10890元． 3.（1）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，商场的头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率． （2）某品牌服装平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了迎接“五一”节，商店决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件服装降价1元，那么平均每天就可多售出2件． ①要使平均每天销售这种服装盈利1200元，那么每件服装应降价多少元？ ②若商店规定降价金额不超过30元且不少于5元，请求出降价多少元时一天能取得最大利润，并求出利润最大值． 【答案】（1）该品牌头盔销售量的月增长率为；（2）①20元，②每件服装应降价15元时，一天取得最大利润，最大利润为1250元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，正确理解题意、列出方程和函数关系式是解题的关键； （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔9月份销售150个，11月份销售216个，且从9月份到11月份销售量的月增长率相同可得，再解方程即可； （2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为件，根据单件利润×销售量=总的利润，即可列出一元二次方程，解方程经检验后可得答案； ②设每件衣服应降价m元，每天盈利w元，根据单件利润×销售量=总的利润，即可列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可 【详解】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据题意可得：， 解得：，（舍去）， 答：该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）①设每件服装应降价x元，则相应的销售量为件， 由题意得，， 整理得：， 解得或， 又∵要尽量减少库存， ∴， 答：每件服装应降价20元； ②设每件服装应降价m元，每天盈利w元， 由题意得， ， ∵，且降价金额不超过30元且不少于5元， ∴当时，w最大，最大为1250， ∴每件服装应降价15元时，一天能取得最大利润，最大利润为1250元． 4.某水果商场经销一种高档水果，原价每千克50元，连续两次降价后每千克32元，若每次下降的百分率相同． (1)求每次下降的百分率； (2)若每千克盈利15元，每天可售出1000千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，商场决定采取适当的涨价措施，若每千克涨价1元，日销售量将减少40千克． ①现该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价多少元； ②设每天的总利润为W元，当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每次下降的百分率为； (2)①该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元；②当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润是16000元 【分析】本题考查一元二次方程的应用、二次函数的应用，解答本题的关键是找到等量关系，列出相应的方程和写出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值． （1）设每次下降百分率为，得，求解即可． （2）①根据销售盈利=销售量×每千克盈利，列出方程求解即可． ②根据题意，可以写出利润和涨价的函数关系式，然后利用二次函数的性质，即可求得当每千克应涨价多少元时，每天的利润最大，最大利润是多少元． 【详解】（1）解：设每次下降的百分率为x， 由题意可得：， 解得，舍去， 答：每次下降的百分率为； （2）①设每千克应涨价a元， 由题意可得：， 解得，， 答：该商场要保证每天盈利15000元，每千克应涨价0元或10元； ②设每千克应涨价m元， 由题意可得，， 当时，W取得最大值，此时， 答：当每千克应涨价5元时，每天的利润最大，最大利润为16000元 题型二 投球问题 1．如图，一名运动员在水平地面上训练抛实心球，若以实心球出手时的正下方地面上一点O 为原点建立平面直角坐标系，该运动员某次抛出去的实心球行进过程中的高度与水平距离之间的关系为，则该运动员这次抛出的水平距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是二次函数的应用，正确求解方程是解题的关键．解方程，求出结果即可． 【详解】解：令，则， 解得：（舍去），， 则该运动员这次抛出的水平距离为． 故选：B． 2.九年级的一场篮球比赛中，如图队员甲正在投篮，已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为，当球出手后水平距离为时到达最大高度，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面． (1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的解析式并判断此球能否准确投中？ (2)此时，若对方队员乙在甲前面处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 【答案】(1)，能够投中； (2)能够盖帽拦截成功． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征． 根据球出手时的高度可知抛物线经过点，根据球出手后水平距离为时到达最大高度，可知抛物线的顶点坐标是，根据球出手时篮圈中心的水平距离为，篮圈距地面可知篮圈中心的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式，当时，求出球的高度为，可知篮球能投中； 把代入代数式，可得：，因为可知能够盖帽拦截成功． 【详解】（1）解：由题意可知，抛物线经过点，顶点坐标是，篮圈中心的坐标是， 设抛物线的解析式是， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线解析式为． 当时，， 篮圈的中心点在抛物线上， 能够投中； （2）解：当时，， 能够盖帽拦截成功． 3.某数学兴趣小组设计了一个投掷乒乓球游戏：将一个无盖的长方体盒子放在水平地面上，从箱外向箱内投乒乓球．建立如图所示的平面直角坐标系（长方形为箱子截面图，轴经过箱子底面中心，并与其一组对边平行，米，米），小明站在原点，将乒乓球从距离水平地面1.5米高的处抛出，乒乓球运行轨迹为抛物线，当乒乓球离小明1米时，达到最大高度2米． (1)求抛物线的解析式； (2)小明抛出的乒乓球能不能投入箱子，请通过计算说明． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】本题考查二次函数的实际应用，解题的关键是将实际问题转化为二次函数中坐标问题，然后利用坐标数值关系反推实际问题． （1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，利用待定系数法求解即可； （2）只要判断出乒乓球在运行中，高于，并落在之间即可； 【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过点， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为，即 （2）解：能，理由如下： 当时，， 当时，， 解得（舍去），， ∴乒乓球在运行中，高于，并落在的中点处， ∴小明抛出的乒乓球能投入箱子. 题型三 拱桥问题 1.湘雅公园人工湖上有一座拱桥，横截面呈抛物线形状，如图所示，现对此展开研究：跨度为4米，桥墩露出水面的高度均为米，在距点A水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米，建立如图所示的平面直角坐标系，并设抛物线的解析式为，其中是横截水面，是拱桥距水面的高度． 游船参数 长米，宽米， 满员后游船露出水面高度为米 (1)求抛物线的解析式； (2)公园欲开设游船项目，为安全起见，公园要在水面上的C、D两处设置航行警戒线，并且，要求游船能从C、D两点之间安全通过，则C处距桥墩的距离至少为多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】本题考二次函数的实际应用，根据对应点的坐标得到二次函数关系式是解题关键． （1）求得抛物线顶点为，用待定系数法可得答案； （2）在中，令解出的值，即可得到答案． 【详解】（1）解：为4米，在距点水平距离为2米的地点，拱桥距离水面的高度为米， 抛物线顶点为， 设抛物线的表达式为， 将代入得：， 解得， 抛物线的表达式为； （2）解：在中，令得： ， 解得（舍去）或， 处距桥墩的距离至少为米． 2.一座桥如图，桥下水面宽度是20米，高是4米． (1)如图1，若把桥看做是抛物线的一部分，建立如图坐标系，求抛物线的解析式； (2)要使高为3米的船通过，则其宽度须不超过多少米？ 【答案】(1) (2)船的宽度须不超过10米 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确理解题意并运用二次函数的图象与性质解题是关键． （1）根据题意得，，所以可设抛物线的解析式为，再将代入解析式求解即可； （2）令，得到方程，可求出当高为3米时，船能通过的最大宽度，即得答案． 【详解】（1）解：由已知，抛物线的顶点D的坐标为，抛物线与x轴的交点B的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：令，则， 解得， 船的宽度须不超过米． 3.某市一处十字路口立交桥的横断面如图所示，桥拱的部分为一段抛物线，顶点的高度为米，它两侧和是高为米的支柱，和为两个方向的机动车通行区，宽都为米，线段和为两段对称的上桥斜坡，且．以所在直线为轴，横断面的对称轴为轴建立平面直角坐标系． (1)求桥拱所在抛物线的解析式及的长； (2)和为支撑斜坡的立柱，其高都为米，相应的和为两个方向的行人及非机动车通行区，若，求的宽度； (3)按规定，汽车通过该桥下时，载货最高处和桥拱之间的距离不得小于米．今有一大型运货汽车，装载某大型设备后，其宽为米，车载大型设备的顶部与地面的距离均为米．它能否从桥下区域安全通过？请说明理由． 【答案】(1)桥拱所在抛物线的解析式为，的宽为米； (2)的宽为米； (3)该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由见解析． 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，掌握知识点的应用是解题的关键． （）设桥拱所在抛物线的解析式为，由题意得，，然后代入即可求解； （）根据题意求出米，然后通过线段和差即可求解； （）在抛物线中当时，，然后与比较即可． 【详解】（1）解：设桥拱所在抛物线的解析式为， 由题意得，，， ∴，解得， ∴桥拱所在抛物线的解析式为， ∵，， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长为米； （2）解：∵，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的宽为米； （3）解：该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过，理由， 当时，， ∵， ∴该大型运货汽车可以从桥下区域安全通过． 题型四 图形问题 1.如图，用长为米的篱笆，一面利用墙（墙的最大长度为米），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为米，面积为平方米． (1)求关于的函数表达式． (2)如果要围成面积为平方米的花圃，的长为多少米？ (3)平方米是否为花圃能围成的最大面积？若是，请说明理由；若不是，请求出花圃的最大面积． 【答案】(1)； (2)的长为米； (3)不是，的最大值为平方米． 【分析】本题考查了一元二次方程，二次函数的综合应用，根据已知条件列出二次函数式是解题的关键． （）可先用篱笆的长表示出的长，然后根据矩形的面积长宽，得出关于的函数表达式； （）令，解方程求出的值，并验证的值是否符合题意； （）根据，求出自变量的取值范围，并根据二次函数的性质求出最值． 【详解】（1）解：由题可知，花圃的宽为米，则为米， 关于的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得或， 当时，舍去， 当时，符合题意， ∴， 即的长为米； （3）解：平方米不是花圃能围成的最大面积， ∵， 解得， 由， ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，S最大，最大值为， ∴的最大值为平方米． 2.某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙墙足够长，中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1米宽的门．已知计划中的材料可建墙体不包括门总长为27米． (1)假设垂直于墙的一道墙长为，饲养室面积为，求S关于x的函数关系式． (2)能建成的饲养室面积最大为多少平方米？ 【答案】(1) (2)最大为75平方米 【分析】（1）由题意得：，即可求解； （2）由，可得S有最大值，即可求解． 本题考查的是二次函数的应用，首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值或最小值 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：由（1）知，， ， ∴当时，， 当时，，符合题意 ， 答：能建成的饲养室面积最大为75平方米． 3.如图，在中，是高，矩形的顶点、分别在、上，在边上．若，，求矩形的面积最大时，的长度． 【答案】 【分析】本题考相似三角形的判定与性质，二次函数的最值，设，，根据相似三角形的高的比等于相似比求出，再表示出矩形的面积，最后根据二次函数求最大值即可． 【详解】解：交于， 设，， ∵矩形， ∴， ∵在中，是高， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴矩形的面积， ∴当时，矩形的面积最大，此时． 4．如图三角形，，是边上的高．分别是边上的点，是上的点，连接，交于． (1)若四边形是正方形，求的长（图一）； (2)若四边形是矩形，且．求的长（图二）； (3)若四边形是矩形，求当矩形面积最大时，求最大面积和的长． 【答案】(1) (2)， (3)最大面积是，， 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、正方形的性质、二次函数的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设正方形的边长为，由正方形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案； （2）设则，由矩形的性质得出，推出，再由相似三角形的性质计算即可得出答案； （3）由矩形的性质得出，推出，设，矩形的面积为，则，，表示出，根据二次函数的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：设正方形的边长为， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴， ∴，即 ， 解得， ． （2） 解：设，则， ∵四边形为矩形， ∴， ， ∴，即 ， 解得， ，． （3） 解：∵四边形是矩形， ， ∴， ∵是高，∴， ∴四边形是矩形，， ∴，． 设，矩形的面积为， 则 ，， ∴，， ∴， ∴当时，的最大值为， ∴当时，矩形的面积最大，最大面积是； 此时，，． 答：最大面积是，，． 5.如图，在平面直角坐标系中，四边形是正方形，点A，C分别在轴、轴上，点分别是边、上的动点，且．设，的面积为． (1)用含的式子表示； (2)当的值为多少时，的值最小？求这个最小值． 【答案】(1) (2)当时，S取得最小值，最小值为． 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，坐标与图形的相关知识．掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据代入数值列出函数关系式即可． （2）对二次函数进行配方，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ 故 （2）解：， ∵， ∴抛物线开口向上， ∴当时，S取得最小值，最小值为． 题型五 图形运动问题 1．如图，在中，，，，点E在边上由点A向点B运动（不与点A，点B重合），过点E作垂直交直角边于F．设，面积为y，则y关于x的函数图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】动点问题的函数图象、相似三角形的判定与性质综合、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】过点作于点，利用勾股定理以及面积法求得的长，分和两种情况讨论，利用相似三角形的判定和性质求解即可； 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ， 当， ， ， ， ，即， ， ，开口向上的一段抛物线； 当， 同理可证， ，即， ， ，开口向下的一段抛物线； 综上，符合题意的函数关系的图象是D； 故选：D． 【点睛】本题考查了动点函数图象问题，相似三角形的判定和性质，三角形的面积，二次函数的图象，在图象中应注意自变量的取值范围． 2.如图，在矩形中，，点 Q从点B出发，以的速度沿 方向运动到点 C 停止，同时点P 从点 B 出发，以的速度沿路线 B→A→D→C 运动到点C 停止.若 的面积为y（单位：），运动时间为x（单位：），则下列最能反映y与x之间的函数关系的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，需要结合几何图形与函数图象，认真分析动点的运动过程．解题时注意分类讨论的数学思想． 根据题意分三部分确定函数解析式：当时，当时，当时，然后结合函数图像求解即可． 【详解】解：根据题意可知，， ∵， ∴当时，， 当时，，故选项D不合题意； 当时，，此时图象为抛物线，且抛物线的开口向下，故选项B符合题意，选项A、C不合题意． 故选：B． 3.如图1，在菱形中，，连接，点从点出发沿方向以的速度运动至点，点同时从点出发沿方向以的速度运动至点．设运动的时间为，的面积为．已知与之间的函数图象如图2所示，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，动点问题与函数图象，三角形面积计算，表示出的面积表达式是解决本题的关键． 先根据点M和点N的运动速度和路径，分情况讨论的面积表达式，再结合函数图象即可求解a的值． 【详解】解：四边形是菱形，， ，． 如图1，当点N在上运动时，，． 过点M作于点E． 在中，， ． ． 当点N在点C时，，即．解得（负值已舍）． ． 如图2，当点N在上运动时，，． 过点N作于点H． 在中，， ． ． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． ． 故选：C． 4.在中，，，，，分别是，的中点，点，分别从点，出发，沿折线方向运动，运动速度都是1个单位长度/秒，当点到达点时，两点同时停止运动．设的面积为，运动时间为秒，则与之间的函数图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，根据题意分别求出各种情况下的函数关系式，依照关系式判断图象即可． 【详解】解：如图，连接，作， ∴， ∴， 当时，点M在上，点N在上，， ∴； 如图，当时，点M在上，点N在上， ∵， ∴ ∴ ； 如图，当时，点M、N都在上， ∴， 综上判断选项B的图象符合题意． 故选：B． 5.如图，在中，，，，动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点重合），动点从点开始沿边向以的速度移动（不与点C重合）．如果分别从同时出发，那么经过 秒，四边形的面积最小． 【答案】6 【分析】本题考查了二次函数的应用，正确列出函数关系式是解题关键． 设移动时间为秒，四边形的面积为，先分别求出的长，再利用面积减去面积求出四边形的面积，然后利用二次函数的性质求解即可得． 【详解】解：设移动时间为秒，四边形的面积为， 由题意得：，， ， ， ， ， 整理得：， 由二次函数的性质可知，当时，取得最小值0， 即经过6秒，四边形的面积最小， 故答案为：6． 6.在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：___________，___________（用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使的面积S最大，若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或2 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用以及勾股定理的应用，关键是表示出、的长度． （1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可； （3）根据三角形的面积代入相应线段的长即可得到函数解析式，根据二次函数的最值求解即可． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；． （2）解：由题意得：， 解得：，； ∴当或时，的长度等于； （3）解：由题意得， ， 当时，的面积最大. 学科网（北京）股份有限公司 $