第2章 一元二次方程（知识归纳＋题型突破）（五大题型，104题）-2023-2024学年八年级数学下册单元速记·巧练（浙教版）

第2章 《一元二次方程》知识归纳与题型突破 1、理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程． 2、会用一元二次方程根的判别式判断方程是否有实根及两个实根是否相等． 3、了解一元二次方程的根与系数的关系． 4、能根据具体问题的实际意义，检验方程解的合理性． 1. 一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常数项． 2.一元二次方程的解法 解法 适用范围 步骤 直接 开方法 符合型 的一元二次方程 1) 两边分别开方，得：； 2) 两边同除以系数，得， 因式 分解法 化成一般形式后，“=”左边可以因式分解的一元二次方程 (1) 将一元二次方程化成一般是 (2) 将“=”左边的部分因式分解 (3) 让各部分因式分别=0 (4) 各部分因式分别=0的x的值即为方程的解 配 方 法 适用二次项系数为1的一元二次方程 (1) 将一般形式的常数项移到“=”右边 (2) 两边同时加上一次项系数一半的平方，得到式的一元二次方程 (3) 利用直接开方法求解方程 公 式 法 适用所有一元二次方程 (1) 将方程写成一般式； (2) 分别写出a、b、c的表达式，带入求出根的判别式的值； (3) 将数据带入公式，得到方程的两个解 3.根的判别式 (1)当Δ＝>0时，原方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝=0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝<0时，原方程没有实数根． 注意：当时，可得方程有两个实数根，相等不相等未知 4.列一元二次方程解应用题 （1）解题步骤：①审题；② 设未知数；③ 列一元二次方程；④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． （2）应用模型：一元二次方程经常在增长率问题、面积问题等方面应用. ①平均增长率（降低率）问题：公式：b＝a(1±x)n，a表示基数，x表示平均增长率（降低率），n表示变化的次数，b表示变化n次后的量； ②利润问题：利润=售价-成本；利润率=利润/成本×100%； ③传播、比赛问题： ④面积问题：a.直接利用相应图形的面积公式列方程；b.将不规则图形通过割补或平移形成规则图形，运用面积之间的关系列方程. 注意：运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实数根，则必须要根据题意检验根是否有意义. 题型一 一元二次方程及一元二次方程的解 【例1】．（2022秋•商洛期末）下列方程中，是一元二次方程的是（　　） A．x3+2x＝0 B．x（x﹣3）＝0 C． D．y﹣x2＝4 【例2】．（2023春•东阳市期末）将方程2x2+7＝4x改写成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（　　） A．2，4，7 B．2，4，﹣7 C．2，﹣4，7 D．2，﹣4，﹣7 【例3】．（2023秋•温岭市期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2021﹣6a2+2a的值是（　　） A．2023 B．2022 C．2020 D．2019 【例4】．（2023秋•椒江区期中）若关于x的方程（m﹣4）x|m﹣2|+2x﹣5＝0是一元二次方程，则m＝　 　． 【例5】．（2023秋•息县期中）若一元二次方程x2﹣ax﹣2＝0的一个根为x＝2，则a＝　 ． 巩固训练 1．（2022秋•让胡路区校级期末）在下列方程中，属于一元二次方程的是（　　） A． B．x2﹣3x+2 C．﹣5x2+3y﹣2＝0 D．y2＝16 2．（2023秋•明山区校级期中）把一元二次方程（x﹣2）（x+3）＝1化成一般形式，正确的是（　　） A．x2+x﹣5＝0 B．x2﹣5x﹣5＝0 C．x2+x﹣7＝0 D．x2﹣5x+6＝0 3．（2023秋•桂东县期末）若方程ax2+bx+c＝0（a≠0）中，a，b，c满足a+b+c＝0和a﹣b+c＝0，则方程的根是（　　） A．1，0 B．﹣1，0 C．1，﹣1 D．无法确定 4．（2022春•朝阳区校级期中）若（m﹣2）x2﹣3x+5＝0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围为 　 　． 5．（2022春•嘉兴期末）构造一个一元二次方程，要求：①常数项不为0；②有一个根为﹣1．这个一元二次方程可以是 　 　（写出一个即可）． 6．（2023春•义乌市期末）已知a为方程x2﹣3x﹣6＝0的一个根，则代数式6a﹣2a2+5的值为 　 　． 题型二 一元二次方程的解法 【例1】．（2022秋•宜兴市期末）方程（x+3）2＝4的根是（　　） A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1