2024年人教版九年级数学中考一轮复习-第二十一章、一元二次方程讲义

第二十一章、一元二次方程 中考一轮复习-人教版 1、 一元二次方程的定义及解 【知识点1 一元二次方程的定义】 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程. 【例1】下列方程中，一定是一元二次方程的是（　　） ①3x2+7＝0：②ax2+bx+c＝0；③（x﹣2）（x+5）＝x2﹣1；④3x0． A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【变式1】下列方程中：①y2+2x＝0；②x2＝0；③（x2﹣1）2＝1；④3y2﹣2y＝﹣1；⑤2x2﹣5xy+3y2＝0；⑥ax2+bx+c＝0（a，b，c是常数）；⑦2＝0；⑧（x+1）（x﹣1）＝x2﹣1．其中属于一元二次方程的有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．6 【变式2】关于x的方程（a2+1）x2+2ax﹣6＝0是一元二次方程，则a的取值范围是（　　） A．a≠±1 B．a≠0 C．a 为任何实数 D．不存在 【变式3】若关于x的方程是一元二次方程，则m的值为（　　） A．m≠2 B．m＝±2 C．m＝﹣2 D．m＝2 【知识点2 一元二次方程的一般形式】 一般地，任何一个关于的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式+bx+c=0（a，b，c是常数，a≠0）．这 种形式叫一元二次方程的一般形式．其中叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做二次项系数；c叫做常数项． 【例2】将一元二次方程2x2+3x＝1化成一般形式时，它的二次项、一次项系数和常数项分别为（　　） A．2x2，﹣3，1 B．2x2，3，﹣1 C．﹣2x2，﹣3，﹣1 D．﹣2x2，3，1 【变式1】一元二次方程2x2﹣（a+1）x＝x（x﹣1）﹣1化成一般形式后，二次项系数为1，一次项系数为﹣1，则a的值为（　　） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 【变式2】若m2x2﹣（2x+1）2+（n﹣3）x+5＝0是关于x的一元二次方程，且不含x的一次项，则m　 　，n＝　 　． 【知识点3 一元二次方程的解】 能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．一元二次方程的解也称为一元二次方 程的根． 【例3】若方程8x2﹣（k﹣1）x﹣k﹣7＝0的一个根为x＝0，则k的值是（　　） A．7 B． C．4 D．﹣7 【变式1】若一元二次方程（k﹣1）x2+3x+k2﹣1＝0有一个解为x＝0，则k为（　　） A．±1 B．1 C．﹣1 D．0 【变式2】若x＝﹣1是关于x的一元二次方程ax2+bx﹣1＝0的一个根，则2022﹣2a+2b的值为 　 　． 【变式3】若a是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则﹣a3+2a+2021的值为（　　） A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021 【变式4】已知关于x的一元二次方程的根为±3，那么关于y的一元二次方程（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解y＝　 　． 2、 一元二次方程的解法 【知识点1 直接开平方法解一元二次方程】 根据平方根的意义直接开平方来解一元二次方程的方法，叫做直接开平方法. 直接降次解一元二次方程的步骤:①将方程化为或的形式； ②直接开平方化为两个一元一次方程；③解两个一元一次方程得到原方程的解. 【例1】解方程：（x﹣2）20（开平方法）． 【变式1-2】解方程：4（x+1）2﹣9（x﹣2）2＝0（开平方法）． 【知识点2 配方法解一元二次方程】 将一元二次方程配成的形式，再用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． 用配方法解一元二次方程的步骤：①把原方程化为的形式；②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 【例2】（1）请用配方法解一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）． 【变式1】用配方法解方程：4x2﹣8x﹣7＝0． 【知识点3 公式法解一元二次方程】 当时，方程通过配方，其实数根可写为的形式，这个式子叫做一元二次方程的求根公式，把各项系数的值直接代入这个公式，这种解一元二次方程的方法叫做公式法. 【例3】解方程：5x+2＝（3x﹣1）（2x+2）（公式法）． 【变式1】用公式法解方程：x2﹣2x﹣3＝0． 【知识点4 因式分解法概念】 当一个一元二次方程的一边是0，另一边能分解为两个一次因式的乘积时，就可以把解这样的一元二次方程转化为解两个一元一次方程，这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法. 【例4】用因式分解法解方程：2（x﹣3）＝3x（x﹣