第03讲 等比数列 （4个知识点+方法练+创新练+成果练）-2024年高二数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教A版2019选择性必修第二册）

第03讲 等比数列 （4个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.等比数列的概念 知识点2.等比数列的前n项和公式 知识点3.等比数列的前n项和及其应用 知识点4.等比数列前n项和的综合应用 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.等比数列的概念 等比数列的概念 1．定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示(q≠0)． 2．递推公式形式的定义：＝q(n∈N*且n>1). 等比中项 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项，此时，G2＝ab. 等比数列的通项公式 若等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则an＝a1qn－1(n∈N*)． 等比数列通项公式的推广和变形 等比数列{an}的公比为q，则 an＝a1qn－1① ＝amqn－m② ＝·qn.③ 其中当②中m＝1时，即化为①. 当③中q>0且q≠1时，y＝·qx为指数型函数． 等比数列的常用性质 设数列{an}为等比数列，则： (1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)若m，p，n成等差数列，则am，ap，an成等比数列． (3)在等比数列{an}中，连续取相邻k项的和(或积)构成公比为qk(或)的等比数列． (4)若{an}是等比数列，公比为q，则数列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比数列，且公比分别是q，，q2. (5)若{an}，{bn}是项数相同的等比数列，公比分别是p和q，那么{anbn}与也都是等比数列，公比分别为pq和. 例一、单选题 1．（2022上·福建泉州·高二统考期末）已知数列为等比数列，若，则数列的公比为（    ） A． B． C．2 D．4 例二、多选题 2．（2020上·海南海口·高三校考阶段练习）已知数列满足，，设 ，则下列结论正确的是（ ） A． B．是首项为1，公比为2的等比数列 C． D． 例三、填空题 3．（2021上·广西桂林·高二校考期中）已知是2和4的等差中项，正数是和的等比中项，则等于 . 例三、解答题 4．（2023上·湖北·高二期末）已知数列的首项，且满足 (1)求证：数列 为等比数列； (2)证明：数列中的任意三项均不能构成等差数列． 5．（2024上·上海·高二校考期末）已知数列中，，其前项和为，且. (1)若是等比数列，，求通项公式； (2)若，求； (3)若是等差数列，对任意的且.都有，求其公差的取值范围. 知识点2.等比数列的前n项和公式 等比数列的前n项和公式 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和公式 Sn＝ Sn＝ 例一、单选题 1．（2021·高二课时练习）已知等比数列的前项和，则（    ） A．1 B． C． D． 例二、多选题 2．（2023下·广东佛山·高二校联考阶段练习）在一次《数列》的公开课时，有位教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照此方法不断构造出新的数列.下面我们将数列1，2进行构造，第1次得到数列；第2次得到数列；第次得到数列记，数列的前项为，则（    ） A． B． C． D． 例三、填空题 3．在数1和100之间插入n个实数，使得这个数构成递增的等比数列，将这个数的乘积记作，再令.则数列的通项公式为 . 例四、解答题 4．（2023上·甘肃白银·高三校考阶段练习）已知等比数列的前n项和为，且. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和. 5．（2023上·黑龙江牡丹江·高二校考期末）已知为数列的前项和，且，若，，是的前项和，求. 知识点3.等比数列的前n项和及其应用 1．数列{an}为公比不为－1的等比数列(或公比为－1，且n不是偶数)，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍构成等比数列． 2．若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N*)． 3．若{an}是公比为q的等比数列，S偶，S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则：①在其前2n项中，＝q； ②在其前2n＋1项中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)． 例一、单选题 1．（2023上·湖南永州·高二统考期末）如图，瑞典数学家科赫在年通过构造图形描述雪花形状．其作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边．反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线．设原正三角形（图①）的边长为，则图④中图形