5.1.1 任意角（第一课时）课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

5.1.1　任意角 第五章 教学目标 1. 了解任意角的概念,能区分各类角的概念.(数学抽象) 2. 掌握象限角的概念,并会用集合表示象限角.(直观想象) 3. 理解终边相同的角的含义及表示,并能解决有关问题.(数学运算) 思维导图 任意角 角的概念 象限角 终边相同的角 正角 负角 零角 创设情境 引出问题 初中角的定义： 有公共顶点的两条射线组成的图形. 静态定义 局限于 现实生活中随处可见超出0°-360°范围的角．例如,体操中有 “前空翻转体540度”,“后空翻转体720度”. 齿轮旋转的示意图 很显然，0°— 360°角难以满足我们的需要，所以我们需要对角的概念进行推广. 一.任意角的概念 高中角的定义： 1.角的概念： 角可以看成平面内一条 射线 绕着它的端点 选转 所成的 图形 . 2.角的表示： 如图，OA是∠AOB的 始边 ，OB是∠AOB的 终边 ，O是∠AOB的 顶点 .∠AOB可记为“角α”或“∠α”或简记为“α”. 始边：射线的起始位置. 终边：射线的终止位置. 顶点 三要素 一.任意角的概念 3.角的分类 类比实数的学习，我们对角的范围进行扩充： 角 正角 零角 负角 一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角 一条射线绕其端点按顺时针方向旋转形成的角 一条射线没有做任何旋转(始边与终边重合) 任意角 动态定义 注意： （1）在判断角度时，应时刻抓住“选转”二字：要明确选转方向；要明确旋转量的大小；要明确射线的起始位置。 （2）角的概念推广后，角度的范围就不再局限于0°-360°。 思考： （1）正角、负角、零角是根据什么区分的？ （2）如果一个角的终边与始边重合，那么这个角一定是零角吗？ 选转方向：顺时针为负角；逆时针为正角；不旋转为零角 O A(B) 例1. 判断正误： （1）零角的始边与终边重合。 （2）始边与终边重合的角为零角。 （3）如图，以OA为始边，OB为终边，则∠AOB=30° 例2. 课间10分钟，钟表的分针走过的角度是多少度？ 思考：若经过1小时30分钟的时间，钟表的时针和分针各转过的角度是多少？ O A B 30° 例3.如果图中∠，∠，∠你能读出下图中的各个角度吗？ 类比实数，思考下列问题： 1.你认为相等的两个角应该怎样规定？ 2.两角相加又是怎样规定的？ 3.你知道什么是互为相反角吗？两角怎样相减？ 角α与角β旋转方向相同且旋转量相等，那么就称α=β 角α的终边旋转角β，这时终边所对应的角为α+β 类似于实数a的相反数是-a，我们引入任意角的相反角的概念： 射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角.角α的相反角记为-α 类比实数的减法，定义：α - β= α +（-β）. 二.角的关系与运算 思考： （1）以OB为终边的角唯一吗？ （2）若不唯一，那么终边相同的角有什么关系呢？ O A B 30° 不唯一 如：390°=360°+30° -330°=-360°+30° 定义： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 三.终边相同的角 定义： 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝ ，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和. 注意： （1）即终边相同的角相差周角的整数倍； （2）角的终边旋转后回到原位置，反映了角的“周而复始”的变化规律。 四.例题讲解 一、任意角的概念 例1　下列结论： ①三角形的内角必是第一、二象限角； ②始边相同而终边不同的角一定不相等； ③小于90°的角为锐角； ④钝角比第三象限角小； ⑤小于180°的角是钝角、直角或锐角. 其中正确的结论为______(填序号). ② 解析　①90°的角既不是第一象限角，也不是第二象限角，故①不正确； ②始边相同而终边不同的角一定不相等，故②正确； ③小于90°的角可以是零角，也可以是负角，故③不正确； ④钝角大于－100°的角，而－100°的角是第三象限角，故④不正确； ⑤0°角或负角小于180°，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，故⑤不正确. 反思感悟 理解与角的概念有关的问题关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一个反例即可. 二、终边相同的角及象限角 例2　将下列各角表示为k·360°＋α(k∈Z,0°≤α<360°)的形式，并指出是第几象限角. (1)420°； 解　420°＝360°＋60°， 而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角. (2)－510°； 解　－510°＝－