专题04 勾股定理（4个知识点+方法练+创新练+成果练）2024年八年级数学寒假预习核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

专题04 勾股定理（4个知识点+方法练+创新练+成果练） 【目录】 【新知讲解】 知识点1.勾股定理 知识点2.勾股定理的验证（重点） 知识点3.勾股定理的应用（重点） 知识点4.利用勾股定理作长为的线段（难点） 【方法练】 【创新练】 【成果练】 【知识导图】 【新知讲解】 知识点1.勾股定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.（即：a2+b2=c2。） 【例1】（2023·江苏南京·八年级南京外国语学校校考期中）如图，在中，，垂足为D，则 ．    知识点2.勾股定理的验证（重点） 勾股定理的发现至今有5000名年的历史,5000 多年来世界上各个文明古国相继发现和研究过这个定理,并给出了勾股定理的许多证明,现介绍几种著名的拼图证法。 【例2】（2023·四川巴中·八年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图：这个图形被称为“弦图”，它是由四个全等的直角三角形拼成的，你能用这个拼图验证勾股定理吗？ 知识点3.勾股定理的应用（重点） 利用勾股定理可以解决和直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活中的一些实际问题. 【例3】（2023·贵州毕节·八年级校考期中）如图，分别以直角三角形的三边为边向外作三个正方形，较大两个正方形的面积分别为169和144，则最小正方形A的边长是（    ） A．25 B．13 C．12 D．5 【变式1】（2022·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）大明宫国家遗址公园是世界文化遗产，全国重点文物保护单位，其地处长安城（今西安）北部的龙首原上，公园里视野开阔，障碍物极少，成为不少市民放风筝的绝佳场所．某校八年级某班的小明和小亮学习了“勾股定理”之后，为了测得风筝的垂直高度（如图），他们进行了如下操作： ①测得的长度为24米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为30米； ③牵线放风筝的小明身高为1.6米（）． 已知，，，请你帮他们求出风筝的垂直高度． 【变式2】（2022·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）如图，湖中心的点处有一棵树，王晶想测量这棵树与湖边缘A之间的距离，她在湖外的点处用测角仪测得的度数，并在处做好标记，在A处测得的度数，恰好发现．若已知米，米，请你求出这棵树与湖边缘A之间的距离．（结果保留根号） 知识点4.利用勾股定理作长为的线段（难点） 实数与数轴上的点是一一对应的，有理数在数轴较易找到与它对应的点，但要在数轴上直接标出 无理数对应的点则较难，由此，我们可以利用勾股定理作长为的线段，进而在数轴上画出表示的点 【例4】（2023·河北保定·八年级保定十三中校考期中）图1是第七届国际数学教育大会（ICME-7）的会徽图案，它是由一串有公共顶点的直角三角形演化而成的．若图2中的，按此规律继续演化，……    （1）线段的长为 ． （2）若代表的面积；代表的面积，以此类推；代表的面积，则的值为 ． 【方法练】 1．（2023·福建福州·八年级福建省福州屏东中学校考期末）如图1，在等边中，线段为边上的中线，动点D在直线（点D与点A重合除外）上时，以为一边且在的下方作等边，连接． (1)证明：； (2)如图2，若，点P、Q两点在直线上且，求的长． 2.（2023·重庆沙坪坝·八年级重庆八中校考期末）如图，等腰三角形中，，D为边上一点，E为射线上一点，连． (1)如图1，点F在线段上，连、．若，为等边三角形，，，求的长； (2)如图2，F为线段的垂直平分线上一点，连接、、，M为的中点，连接、．若，求证：； (3)如图3，，D为中点，F为中点，与交于点G，将沿射线方向平移得，连接、．若，直接写出的最小值． 3．（2023·江西抚州·八年级校考期中）在直线上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别题1，2，3，如图放置的四正方形的面积依次是，，，．    (1)求前三个正方形的面积之间的关系． (2)求的值． 【创新练】 1．（2023·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为个单位长度，线段和线段的端点均在小正方形的顶点上．        (1)在方格纸中画出，且为钝角（点在小正方形的顶点上）； (2)在方格纸中将线段向下平移个单位长度，再向右平移个单位长度后得到线段（点的对应点是点，点的对应点是点），连接，请直接写出线段的长． 2．（2023·吉林长春·统考中考真题）图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作，点C在格点上．    (1)在图①中，的面积为； (2)在图②中，的面积为5 (3)在图③中，是面积为的钝角三角形． 3．（2023·山东临沂·统