2023-2024学年人教版九年级上册数学期末 圆的证明专题

2023-2024学年人教版九年级上册数学期末 圆的证明专题 1．如图，已知点在直角的斜边上，以为直径的与直角边相切于点 (1)求证：平分； (2)若，，求的半径 2．如图，，交于点C，D，是半径，且于点F． (1)求证：． (2)若，，求的半径． 3．如图，是半圆的直径，O为圆心，C是半圆弧的中点，D是的中点，交于点H，交于点G． (1)求证：． (2)求证：． 4．如图，四边形内接于，分别延长，，使它们相交于点E，，且． (1)求证：． (2)若，点C为的中点，求的半径． 5．如图，，分别与相切于点A，B，点D在上，且，，垂足为E． (1)求证：； (2)若的半径，，求的长． 6．如图，是的直径，弦于点H，点F为圆上一点且，连接，过点C作交AB于点G，交于点E． (1)求证：； (2)若，，求的直径． 7．如图，已知是的直径，点是上一点，连接，点为的中点，连接交于点． (1)求证：． (2)若，，求BC长． 8．如图，矩形中，经过点A，且与边相切于M点，过边上的点N，且． (1)求证：与相切； (2)若，求的长． 9．如图，是半圆的直径，是半圆上两点，且，与相交于点，连接． (1)求证：． (2)连结接，，若四边形是菱形，求的度数． 10．如图，是的直径，点是劣弧中点，与相交于点．连接，，与的延长线相交于点． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，请直接写出_____． 11．如图在中，，在其内部有一点，以为圆心，为半径的圆与相切于点，交于点，连接交于点． (1)求证：； (2)连接，若，且，，求的半径． 12．如图，在给定的圆上依次取点A，B，C，D．连结交于点E，已知．    (1)求证：． (2)连结，若，．求的度数． 13．如图，已知是的直径，C为上的一点，与过点C的切线互相垂直，垂足为D，交于点E (1)求证：平分； (2)若，求的长． 14．如图，四边形是圆的内接四边形，将绕点旋转至 (1)证明：点，，三点共线； (2)若，圆的半径为，求弦的长； (3)如题图，若，试探究弦，，之间的数量关系，并证明． 15．已知，在半圆中，直径，点、在半圆上运动，（点、可以与A、两点重合），弦．    (1)如图1，当时，求证； (2)如图2，若时，求图中阴影部分（弦、直径、弧围成的图形）的面积； (3)如图3，取的中点M，点C从点A开始运动到点D与点B重合时结束，在整个运动过程中： ①点M到的距离的最大值是______； ②直接写出点M的运动路径长______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）证明： 连接， ， ， 为的切线， ， ， ， ∴， ， ， 是的平分线 ． （2）∵， 设的半径为r，则，， 在中，， ∴， 解得：， 即的半径为6． 2．（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）连接，设的半径是r， ∵， ∴， ∵, ∴ 在中，∵， ∴， ∴， ∴的半径是5． 3．（1）∵为直径， ∴， ∴ ∵C是半圆弧的中点， ∴， ∴是等腰三角形， ∵， ∴，     ∴， ∵D是的中点， ∴， ∴，即， ∴， （2）连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（1）证明：四边形内接于， ∴， ∵ ， ， ， ； （2）解：如图，连接， ， ∴， 是的直径， ， ， ， 点C为的中点， ， 在中， ， 的半径为． 5．（1）证明：如图，连接，    ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴； （2）连接，则，    ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， 在中，有， ∴，即． 6．（1）证明：如图，连接， ∵是的直径，弦， ∴， ， ， ∴， ， ， ， ， ． （2）解：连接， 由（1）知， ∴， ， ，是的直径， ， ，， ， 在中，， ， 直径长是10． 7．（1）证明：是的直径， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， 设半径为，在中，由勾股定理得，， 解得：， ∴， ∵， ∴． 8．（1）证明：连接，，， ∵，， ∴，， ∵与相切于M， ∴， ∴， ∴， ∴， 又是的半径， ∴与相切； （2）解：过点O作于G，连接， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， 又， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 9．（1）证明：是半圆的直径， ， ， ，即， ． （2）解：连接，，如图所示： 四边形是菱形， ，， ， ，则为等边三角形，有， ，即的度数． 10．（1）连接，    ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线； （2）∵点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）如图