4.2.2等差数列的前n项和第2课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第 4 章 数 列 4.2.2等差数列的前n项和（第2课时） 学习目标 1.进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式及应用； 2.了解等差数列前n项和的一些性质，并学会运用性质解决具体问题； 3.掌握等差数列前n项和的最值问题的解法． （公式一） （公式二） （二次型） Sn=an2+bn(a,b为实数，常数项为0) 特别的：对数列{n}： 等差数列前n项和公式的基本形式： 1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝(　　)A．5　　　　 B．7 C．9 D．11 自主练习： 答案：A 答案：C 答案：15 自主练习： 答案：912 自主练习： 与等差数列各项的和有关的性质 (2)若{an}是等差数列，Sm，S2m，S3m分别为{an}的前m项，前2m项，前3m项的和， 则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列． (3)关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质： 例1.　(1)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，a6＝100，则S11＝________； (2)若一个等差数列的前4项和为36，后4项和为124，且所有项的和为780，则这个数列的项数为________； (3)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝m，Sm＝n(n≠m)，则Sm＋n＝________. 1 100 39 (3)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，Sn＝m，Sm＝n(n≠m)，则Sm＋n＝________. 将Sn＝m，Sm＝n代入，消去D并整理得： 故填－(m＋n)． －(m＋n) 跟踪练习： 答案：D 答案：60 答案：A 例2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在 最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 解法1.由d＝－2，得an＋1－an＝－2＜0，得an＋1＜an ，所以{an}是递减数列. 由a1＝10，d＝－2，得an＝10＋(n－1)×(－2) ＝－2n＋12. 可知，当n＜6时，an＞0；当n＝6时，an＝0；当n＞6时，an＜0. 所以, S1＜S2＜…＜S5＝S6＞ S7＞…,也就是说，当n＝5或6时，Sn最大. 例2.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝10，公差d＝－2，Sn是否存在 最大值？若存在，求Sn的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由. 解法2：因为由a1＝10，d＝－2， 即5或6时，Sn最大，最大值为30. 方法总结：求等差数列前n项和的最值的方法： (1)二次函数法：用求二次函数最值的方法(配方法)求其前n项和的最值，但要注意n∈N*.利用二次函数图象的对称性来确定n的值，使Sn取得最值． 即正项变负项处最大，负项变正项处最小，若有零项，则使Sn取最值的n有两个． 跟踪练习： 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＞0，a3＋a10＞0，a6a7＜0，则满足Sn＞0的最大自然数n的值为(　　)A．6 B．7 C．12 D．13 D C 3.等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时， Sn有最大值？ 由图可知，当1≤n≤8时，Sn单调递增； 当n≥9时，Sn单调递减，且S8＝S9. 又n∈N*，∴当n＝8或9时，Sn有最大值． ∵a1＞0，n∈N*，∴当n＝8或9时，Sn有最大值． 3.等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时， Sn有最大值？ 又n∈N*，∴当n＝8或9时，Sn有最大值． 3.等差数列{an}的首项a1＞0，设其前n项和为Sn，且S5＝S12，则当n为何值时， Sn有最大值？ 例3.已知等差数列{an}中，记Sn是它的前n项和，若S2＝16，S4＝24，求数列{|an|}的前n项和Tn. ①当n≤5时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝－n2＋10n. ②当n≥6时，Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a5－a6－a7－…－an＝2S5－Sn ＝2×(－52＋10×5)－(－n2＋10n) ＝n2－10n＋50， 数列{|an|}的前n项和问题：分类讨论 探究：若Sn＝n2＋2n＋1，试求an. Sn与an之间的关系问题方法步骤：(1)由Sn构造Sn－1 → (2)利用an＝Sn－Sn－1 → (3)验证n＝1 → (4)写通项公式an. 解：当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝(n＋1)2－n2＝2n＋1.