4.3.1等比数列的概念第2课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第 4 章 数 列 4.3.1 等比数列的概念（第2课时） 学习目标 1.结合等差数列的性质，了解等比数列的性质的由来． 2.理解等比数列的性质并能应用． 3.掌握等比数列的性质并能综合应用. 1.等比数列的概念: 如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，用q表示。 等比数列的概念符号表示: 2.等比中项:如果三个数a, G, b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项. a, G, b成等比数列⇒G2=ab 3.等比数列的通项公式: an=a1qn-1 变式：an＝am·qn－m 类比等差数列的研究思路和方法，在上一节我们获取了等比数列的有关概念，等比中项及等比数列的通项公式： 回顾等差数列性质的探究过程，对等比数列是否也可以从相应的角度探究其性质： 1.从函数的角度看等差数列的单调性: 在等差数列中：an是关于n的一次型函数an=pn+q；公差d的几何意义是该一次函数对应的直线的斜率；d>0⇔{an}递增；d<0⇔{an}递减；d=0⇔{an}常数列。 2.从项与序号的关系得到等差数列的中项性质： 在等差数列中：若m+n=p+q⇒am+an=ap+aq 3.从构造等差数列的“子数列”并考察其性质： 在等差数列中：（1）每间隔相同的项数抽出一项，并按照原来的次序组成的新数列仍等差；（2）截取任何“至少三项的一个片段”仍等差；（3）“依次每k项和”构造的数列仍等差；等等。 4.从等差数列的“运算”并考察其性质： 在等差数列中：等差数列的线性运算构成的数列仍等差。 (2)等比数列的单调性： (1)两项关系：an＝am·qn－m(m，n∈N*)． a1>0时：q>1⇔{an}递增；0<q<1⇔{an}递减； a1<0时：0<q<1⇔{an}递增；q>1⇔{an}递减； q=1⇔{an}常数列; q<0⇔{an}摆动数列 1.从函数的角度看等比数列的单调性: 2.从项与序号的关系得到等比数列的中项性质： (2)多项关系：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则aman＝apaq. 特别的：①若m，n，p(m，n，p∈N*)成等差数列，am，an，ap成等比数列． ②对称性：有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积 (若有中间项则等于中间项的平方)，即a1·an＝a2·an－1＝ak·an－k＋1 3.从构造等比数列的“子数列”并考察其性质： 若数列{an}是公比为q的等比数列，则： (1){an}去掉前几项后余下的项仍组成公比为q的等比数列； 特别地：奇数项数列{a2n－1}是公比为q2的等比数列；偶数项数列{a2n}是公比为q2的等比数列； (2)在数列{an}中每隔k(k∈N*)项取出一项，按原来顺序组成新数列，则新数列仍为等比数列且公比为qk＋1； (3){an}按照“依次每k项的和（积）”构造的子数列仍组成等比数列； 例：（1）a1+a3+a5, a4+a6+a8, a7+a9+a11, …… 是公比q3的等比数列； （2）a1a4a7, a2a5a8, a3a6a9, …… 是公比q3的等比数列； 注意：当k为偶数时，按“依次每k项和”构造的数列的首项为0时，则得到零数列。 4.从等比数列的“运算”并考察其性质： 若数列{an}是公比为q的等比数列，则： (1)若{an}为等比数列，则数列{ank}为等比数列，公比为qk；（其中k∈Q,且ank有意义） 特别地： ③若{an}为等比数列，则数列{an2}为等比数列，公比为q2； （2）若an＞0，则数列{an}是公比为q的等比数列⇔{lgan}是公差为lgq的等差数列； 若数列{an},{bn}均为等比数列，则由它们对应项的幂运算的“积，商，幂”仍为等比数列。 即：{ankbnm}（其中k,m∈Q,且ank,bnm有意义）仍为等比数列。 例1.在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比为整数，求数列{an}的通项公式． 解：由a4a7＝－512，知a3a8＝－512. 所以an＝a3qn－3＝－4×(－2)n－3＝(－1)n－2×2n－1. 例2.等比数列{an}是递增数列，若a5－a1＝60，a4－a2＝24，则公比q为________． 当q＝2时，代入①得a1＝4，{an}是递增数列； 例3．（1）在各项均为正数的等比数列{an}中，若S10=10，S20=30，则S30=______. 解：运用性质S10=10，S20-S10，S30-S20成等比数列， 即10，20，S30-30成等比数列， 所以202=10（S30-30），得S30=7