4.3.1等比数列的概念第1课时课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第 4 章 数 列 4.3.1 等比数列的概念（第1课时） 学习目标 1.理解等比数列的定义，能够应用定义判断一个数列是否为等比数列． 2.掌握等比数列的通项公式并能熟练应用． 3.掌握等比中项的定义，并能够应用等比中项解决问题． 4.了解等比数列的通项公式与指数函数的关系. 我们知道，等差数列的特征是“从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数”，类比等差数列的研究思路和方法，从运算的角度出发，考察以下几个数列，思考它们有何共同特征？ 实例1. 如果把“一尺之棰”的长度看成单位“1”，那么从第1天开始，各天得到的“棰”的长度依次是： 庄子曰：“一尺之棰，日取其半，万世不竭.” 实例2.两河流域发掘的古巴比伦时期的泥版上记录了下面的数列: 实例3.在营养和生存空间没有限制的情况下，某种细菌每200min就通过分裂繁殖一代，那么1个这种细菌从第一次分裂开始，各次分裂产生的后代个数依次是数列: 2，4，8，16，32，64，……⑤ 实例4.某人存入银行a元，存期为5年，年利率为r，那么按照复利计算（复利是指把前一期的利息和本金加在一起算作本金，计算下一期的利息），他5年内每年年末得到的本利和数列: a(1+r),a(1+r)2,a(1+r)3,a(1+r)4,a(1+r)5 ⑥ 数列⑥满足： 数列⑤满足： 数列④满足： 数列③满足： 数列②满足： 数列①满足： 共同特点: 从第二项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列。 以上实例表明，这类数列大量存在，且具有显著的典型性；从其构成来看和“等差数列”类似，因此，可以由等差数列用“类比”的方法研究该类数列，并称之为“等比数列”。 等差数列 等比数列 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列。 这个常数叫做等比数列的公比，用q表示。 这个常数叫做等差数列的公差，用d表示。 an－an-1 = d (n≥2且n∈N*)或an+1－an = d ( n∈N*) 若an+1=anq(n∈N+,q为常数），则数列{an}是否是等比数列？反之能成立吗？ 若an+1=an+d(n∈N+,d为常数），则数列{an}是否是等差数列？反之能成立吗？ 等差数列 等比数列 答：是等差数列 ；反之能成立。 答：不一定是等比数列 ；反之能成立。 公差d的取值范围：d∈R 公比q的取值范围：q≠0 d>0⇔{an}递增； d<0⇔{an}递减； d=0⇔{an}常数列。 a1>0时： q>1⇔{an}递增； 0<q<1⇔{an}递减； a1<0时： 0<q<1⇔{an}递增； q>1⇔{an}递减； q=1⇔{an}常数列; q<0⇔{an}摆动数列 等比数列的每一项都不为0，即an≠0。 等差数列的每一项an的取值无限制。 等差数列 等比数列 等差中项 ：如果三个数a, A, b组成等差数列，那么A叫做a和b的等差中项. 等比中项 ：如果三个数a, G, b组成等比数列，那么G叫做a和b的等比中项. a, A, b成等差数列 a, G, b成等比数列 对称设项法： 三个数成等差可设为a-d,a,a+d 四个数成等差可设为a-3d,a-d,a+d,a+3d 对称设项法： 三个数成等比可设为aq-1,a,aq 四个数成等比可设为aq-3,aq-1,aq,aq3 自主练习：1.由等比数列的定义，判断下列数列是否是等比数列.如果是，写出它的公比. (1) 1，-3，9，-27，81，… 是,公比 q=-3 (2) ，… 不是等比数列 (3) 0，1，0，1； 不是等比数列 (4) 1，0，1，0，1，0，… 不是等比数列 (5) 5，5，5，5，5，5，… 等比数列的首项不能为0，公比也不能为0 非零常数列既是公差为0的等差数列，又是公比为1的等比数列. 2．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an(n∈N*)，则a4＝________. 是，公比 q=1 答案：54 答案：±1 等差数列 等比数列 通项公式：an=a1+(n-1)d 通项公式：an=a1qn-1 通项公式变式： 通项公式变式： =+ 注意体会类比方法：“+”类比“”；“-”类比“➗”；“”类比“乘方”；…… 等差数列 等比数列 由an+1-an=d⇒an+1=an+d a2=a1+d; a3=a2+d=a1+2d; a4=a3+d=a1+3d; …… an=an-1+d=a1+(n-1)d; ∴an=a1+(n-1)d a2=a1q; a3=a2q=a