3.7 切线长定理（同步课件）-2023-2024学年九年级数学下册同步精品课堂（北师大版）

北师大版 数学 九年级下册 第三章 圆 ✳7 切线长定理 学习目标 1.掌握切线长定理，初步学会运用切线长定理进行计算与证明.（重点） 2.了解三角形的内切圆和三角形的内心的概念. 3.学会利用方程思想解决几何问题，体验数形结合思想.（难点） 3.三角形的内心到三角形的 的距离相等. 如图，即OD=OE=OF. A B C D F E O 复习回顾 1.切线的判定定理：过半径 且 于半径的直线是圆的切线. 2.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的 .三角形内切圆的圆心叫做三角形的 .三角形的内心就是三角形的三条 的交点. 外端 垂直 内切圆 内心 角平分线 三边 一、创设情境，引入新知 P O B A 问题1:上节课我们学习了过圆上一点作已知圆的切线，如果点P是圆外一点，又怎么作该圆的切线呢？ O. P A B 直径所对的圆周角是直角. 问题2:过圆外一点P作圆的切线，可以作几条？请欣赏小颖同学的作法（如右下图所示）！ 二、自主合作，探究新知 探究一：切线长的定义 P 1.切线长的定义： 经过圆外一点作圆的切线，这点和切点之间的线段的长叫作切线长． A O ①切线是直线，不能度量. ②切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量． 2.切线长与切线的区别在哪里？ 二、自主合作，探究新知 探究二：切线长定理 B P O A 议一议：PA，PB是☉O的两条切线，A，B是切点. （1）这个图形是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？ 这个图形是轴对称图形，它的对称轴是点P，O所在的直线． （2）在这个图形中你能找到相等的线段吗？说说你的理由. PA＝PB，因为这个图形是轴对称图形，根据其性质“对应线段相等” 就可以得出PA＝PB．也可以利用三角形全等来证明. 二、自主合作，探究新知 证明：如图，连接OA，OB. ∵PA，PB与⊙O相切，点A，B是切点， ∴OA⊥PA，OB⊥PB 即∠OAP=∠OBP=90°， ∵ OA=OB，OP=OP， ∴Rt△AOP≌Rt△BOP(HL)， ∴ PA = PB. B P O A 由Rt△AOP≌Rt△BOP，还可以得到∠OPA=∠OPB 二、自主合作，探究新知 切线长定理： 过圆外一点画圆的两条切线，它们的切线长相等. 注意：切线长定理为证明线段相等、角相等提供了新的方法. 知识要点 ∵PA、PB分别切⊙O于A、B ∴PA = PB 几何语言： B P O A B P O A 例1：PA、PB是⊙O的两条切线，A,B是切点，OA=3. （1）若AP=4,则OP= ; （2）若∠BPA=60 °,则OP= . 二、自主合作，探究新知 典型例题 5 6 （1）写出图中所有的垂直关系； （3）写出图中所有的全等三角形； （4）写出图中所有的等腰三角形. （2）写出图中与∠OAC相等的角； B P O A C E D 做一做：PA、PB是⊙O的两条切线，A、B为切点，直线OP交⊙O于点D、E，交AB于点C. 二、自主合作，探究新知 OA⊥PA，OB ⊥PB，AB ⊥OP. △AOP≌ △BOP， △AOC≌ △BOC， △ACP≌ △BCP. △APB， △AOB ∠OAC=∠OBC=∠APC=∠BPC. O P A B C E D 例2：如图，PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，在弧AB上任取一点C，过点C作☉O的切线,分别交PA、PB于点D、E.已知PA=7,∠P=40°.则⑴ △PDE的周长是 ； ⑵ ∠DOE= ____ . 二、自主合作，探究新知 解析：连接OA、OB、OC、OD和OE. ∵PA、PB是☉O的两条切线，点A、B是切点，∴PA=PB=7.∠PAO=∠PBO=90°. ∠AOB=360°-∠PAO-∠PBO-∠P=140°. 典型例题 二、自主合作，探究新知 O P A B C E D 又∵DC、DA是☉O的两条切线，点C、A是切点，∴DC=DA.同理可得CE=EB. l△PDE=PD+DE+PE=PD+DC+CE+PE=PA+PB=14. ∵OA=OC，OD=OD， ∴△AOD≌△COD， ∴∠DOC=∠DOA=∠AOC. 同理可得∠COE=∠COB. ∠DOE=∠DOC+∠COE= （∠AOC+∠COB）=70°. 二、自主合作，探究新知 ★切线长问题辅助线添加方法 （3）连接圆心和圆外一点. （2）连接两切点； （1）分别连接圆心和切点； 方法归纳 想一想：如图所示，四边形ABCD的四条边都与☉O相切，图中的线段之间有哪些等量关系？与同伴进行交