2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最值

2024年中考数学高频考点突破——二次函数与最值 1．在直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点．其中点，点． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，在直线经过点，与轴交于．在直线l下方的抛物线上有一个动点，连接，，求面积的最大值及其此时的坐标． (3)将抛物线y向右平移个单位长度后得到新抛物线，点是新抛物线的对称轴上的一个动点，点是原抛物线上的一个动点，取面积最大值时的点．若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标，并写出求解其中一个点的过程． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，与轴交于、两点点在点的左侧，其中，， ． (1)求抛物线的解析式； (2)线段上有一动点，连接，当的值最小时，请直接写出此时点的坐标和的最小值． (3)如图2，点为直线上方抛物线上一点，连接、交于点，连接，记的面积为，的面积为，求的最大值． 3．如图，已知抛物线与x轴的一个交点为，与y轴交于点A， (1)求抛物线的解析式； (2)若点P是抛物线上位于直线上方的动点，分别过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，作y轴的平行线交直线于点D，以、为边作矩形，求矩形周长的最大值，并求出此时点P的坐标； (3)若点N是抛物线对称轴上的一点，在抛物线上是否存在一点M，使得以A、N、B、M为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点M的坐标． 4．如图，抛物线交x轴于点两点，交y轴于点B． (1)求二次函数表达式和点B的坐标． (2)在直线AB上方的抛物线上有一动点E，作轴交x轴于点G，交于点M，作于点F，若点M的横坐标为m，求线段的最大值． (3)抛物线对称轴上是否存在点P使得为直角三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点D与点C关于抛物线的对称轴l对称，连接，点P为下方抛物线上一动点，于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将抛物线向左平移，使新抛物线恰好经过原点，点E为点D的对应点，点F在l上，点G在新抛物线上，直接写出所有使得以点P，E，F，G为顶点的四边形是平行四边形的点G的坐标，把求其中一个点G的坐标的过程写出来． 6．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)点是直线下方抛物上一动点，连接，，求面积的最大值以及此时点的坐标； (3)在（2）中的面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左移动2个单位，平移后的抛物线顶点坐标为，为轴上一点，在平移后的抛物线上确定一点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程． 7．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点（点A在点的左侧），与轴交于点，连接、，点为直线上方抛物线上一动点，连接交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)当的值最大时，求点的坐标和的最大值； (3)如图2，把抛物线沿射线方向平移个单位得到新抛物线，是新抛物线上一点，是新抛物线对称轴上一点，当以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出点坐标，并把求其中一个点坐标的过程写出来． 8．在如图所示的平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为A、B．与y轴的交点为C． (1)请你求出点A、B、C的坐标并直接写出直线的关系式； (2)若点F是直线上方抛物线上的任意一点，连接、，请你求出面积的最大值； (3)点D在该抛物线的对称轴上，点E是平面直角坐标系内的任意一点，以点B、C、D、E为顶点的四边形是矩形，则点E的坐标是__________（请直接写出答案） 9．综合与探究 如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点．过点的直线与抛物线在第一象限交于点． (1)求，，三点的坐标，并直接写出直线的函数表达式． (2)点是线段上的一个动点，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点．试探究是否存在一点，使线段最大．若存在，请求出的最大值；若不存在，请说明理由． (3)若点在抛物线上，点是直线上一点，是否存在以点，，，为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 10．定义：函数图像上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图像的“n阶方点”．例如，点是一次函数图像的“1阶方点”． (1)在①，②，③三点中，是反比例函数图像的“2阶方点”的有________（填序号）； (2)如图，已知抛物线交y轴于点C，一次函数的图像交抛物线第二象限于点P，点Q为该一次函数图像的“1阶方点”． ①求的面积的最大值； ②若一次函数图像的“1阶方点”有且只有一个，求a的值； (3)若抛物线的“m阶方点”一定存在，求m