2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2024年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，以的边上一点O为圆心的圆，经过A、B两点，且与边交于点E，D为的下半圆弧的中点，连接交于F，若． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 2．如图，已知等腰，，以点O为圆心作交边，于C，D两点，点C恰好为的中点，延长交于点E，连．    (1)求证：是的切线； (2)连接，若，求的长． 3．如图，半圆的直径，圆心为点．点在上，四边形是平行四边形，顶点在半圆上．，垂足为，．    (1)求证：是的切线； (2)求的长及图中阴影部分的面积． 4．如图，已知是的直径，点P在的延长线上，弦平分，且于点D．    (1)求证：是的切线． (2)若，，求弧的长． 5．如图，在中，，以为直径的与相交于点，且，垂足为．    (1)求证：是的切线； (2)，的半径为，求图中阴影部分的面积． 6．如图，为的直径，为上的一点，平分于，与交于．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 7．如图，在中，点D是边上一点，以为直径的与边切于点E，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 8．已知：如图，在中，，以为直径的与交于点D，，垂足为E，的延长线与的延长线交于点F．    (1)试说明：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 9．如图，是的直径，，都是上的点，且平分，过点作的垂线交的延长线于点，交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 10．如图，点E为正方形的边上的一点，是的外接圆，与交于点F，G是上一点，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求半径的长． 11．如图，以的边为直径的恰为的外接圆，的平分线交于点，过点作交的延长线于点．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长 12．如图，点在的直径的延长线上，点在上，，．    (1)求证：是的切线； (2)若的半径为2，求图中阴影部分的面积． 13．如图，已知是⊙O的直径，⊙O经过的直角边上的点F，交边于点E，点F是弧的中点，，连接．    (1)求证：直线是⊙O切线． (2)若，求的值． 14．如图，为的直径，点在直径上点与A，两点不重合，，点在上且满足，连接并延长到点，使    (1)求证：是的切线； (2)若，试求的值． 15．如图，内接于，是的直径，与相切于点B，交的延长线于点D，E为的中点，连接．    (1)求证：是的切线． (2)已知 ，，求O，E两点之间的距离． 16．如图，是的内接三角形，D是圆外一点，连接，连接交于点E．    (1)求证：是的切线； (2)若，E是的中点，求的长度． 17．如图，已知是的外接圆，是的直径，D是延长线的一点，交的延长线于E，于F，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 18．如图，是的直径，点F，C是上两点，且，连接，，过点C作，交的延长线于点D，垂足为D．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长度； 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析 (2)3 【分析】（1）连接由等腰三角形的性质可得,由垂径定理可得，然后借助角关系转化出∠OAC＝90°，可得结论； （2）在由勾股定理可求解． 【详解】（1）连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵D为的下半圆弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，且是半径， ∴是的切线； （2）在中，， ∴， ∴（不合题意舍去），， ∴的半径为3． 【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了垂径定理． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）过点O作交于点F，首先根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，然后利用含角直角三角形的性质得到，然后根据题意得到，即可证明； （2）过点A作交的延长线于点G，首先根据含角直角三角形的性质得到，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图所示，过点O作交于点F，    ∵等腰， ∴ ∵ ∴ ∵点C恰好为的中点 ∴ ∴ ∵是的半径 ∴是的切线； （2）如图所示，过点A作交的延长线于点G，    ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的判定、含角直角三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质定理成为解答本题的关键． 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质得到，，推出四边形是平行四边形，得到四边形是矩形，求得，于是得到结论； （2）由（1）知，四边形是矩形，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：证明：连接， 四边形是平