第二十四章 圆的切线的证明-综合训练 2023—2024学年人教版数学九年级上册

第二十四章 圆的切线的证明-大题综合训练 一、解答题 1．如图，P为⊙O外一点，为圆O的弦，且，直线交⊙O于点D、E，交于点． (1)求证：为的切线； (2)若，求证：； (3)若与切于点，且，，求的长． 2．如图，点在以为直径的上，平分，且于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 3．已知四边形是平行四边形，以为直径的经过点D． (1)如图1，若，求证：与相切； (2)如图2，若，，交边于点F，交边延长线于点E，求，的长． 4．如图，已知的半径垂直于弦，点在的延长线上，平分． (1)求证：是的切线； (2)若，，求． 5．如图，是的外接圆，，延长到D，连接，使．交于E． (1)求证：与相切； (2)若，．求的半径． 6．如图，以线段为直径作，交射线于点C，平分交于点D，过点D作直线于点E，交的延长线于点F，连接并延长交射线于点G (1)求证，直线是切线 (2)若，求线段的长 7．小邕做数学题时遇到了如下问题：如图1，是的内接三角形，直线l经过点A，点E是直线l上的一点，且．求证：直线l是⊙O的切线，小邕添加了适当的辅助线后，得到了图2的图形，并利用它解决了问题． (1)请你根据小邕的思考，写出解决这一问题的过程； (2)在图2中，作直径，连接，得到图3．若，，，求的长． 8．如图：四边形内接于，为的直径，点平分，过点的直线分别交、的延长线于点、，且． (1)求证：为的切线； (2)若，，求． 9．如图，的边为直径的交于D，，作垂足为E，连接， (1)求证：是的切线． (2)若，．求线段的长． 10．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AC是⊙O直径，BE∥AD交DC延长线于点E，若BC平分∠ACE． (1)求证：BE是⊙O的切线； (2)若BE＝3，CD＝2，求⊙O的半径． 参考答案： 1．（1）证明：如图，连接， ∵是的直径， ∴， ∴ ∵， ∴， 又∵， ∴，即， ∴， 又为的半径， ∴为的切线． （2）证明：由（1）知：， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴； （3）解：设，则， ∴， ∴，． ∵、为的切线， ∴，平分， ∴． ∵为的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：． 解得：或（不合题意，舍去）， ∴． 2．（1）证明：如图中，连接． ， ， 平分， ， ， ， ， ∴， ∴， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：如图，过点作于点，得矩形， ，， ， 在中，根据勾股定理，得 ， ， 解得． 的半径为． 3．（1）证明：连接， ∵，， ∴， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴与相切； （2）解：如图，连接，，， ∵是直径， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴是直径， ∴，， ∴，， ∴， 在和中，，， ∴， 设 ，则， ∴． 解得， ∴， 即． 4．（1）解：连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵半径垂直于弦， ∴， ∴， ∴，且是半径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴设，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 5．（1）证明：连接， ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∵是半径， ∴是的切线； （2）解：设的半径为R，则， ∵，在Rt△OAE中，， ∴， 解得R＝6（负舍）， ∴的半径为6． 6．（1）证明：连接， 则：， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴直线是切线； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 7．（1）证明：如图2，作直径，连接， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴直线是的切线； （2）解：如图3，过点作于， ∵，，， ∴，， ∴， 由勾股定理得： ， ∴， ∴． 8．（1）解：如图，连接； ∵点平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵四边形内接于 ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴为的切线； （2）解：如图，连接，交于点； ∵为的直径 ∴ ∴四边形是矩形 ∴ ∵， ∴是的中位线； ∴ ， ， 设，则 在中 即： 解得： ∴ 故： 9．（1）证明：连接OD，如图所示： ∵AB是的直径， ∴， ∵， ∴OD是△ABC的中位线， ∴OD∥AC， ∵， ∴， ∴OD⊥DE， ∵OD是的半径， ∴是的切线； （2）解：连接AD，如图所示： ∵AB是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴△ABC是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在Rt△ODE中，由勾股定理得：． 10．（1） 证明： ∵AC是⊙O直径， ∴ ∵， ∴ 连接OB， ∵， ∴ 又∵BC平分， ∴， ∴ ∴， ∴ 又∵OB为半径， ∴BE为⊙O切线 （2）延长BO交AD于点F， ∵ ∴四边