2023-2024学年人教版八年级数学上册寒假 03讲 全等三角形几何模型

第03讲 全等三角形几何模型 学习目标：（1）建立本章知识体系 （2） 明确中考考点 （3） 掌握经典题型 中考考点总结： （1）构造全等三角形的4种方法 （2）全等三角形常见的4种模型 考点一：构造全等三角形的4中方法 训练点一：连“公共边” 例1. (2022重庆北碚期末,19,★☆☆)如图,已知AC,BD交于点E,AC=BD,AD=BC.求证:AE=BE. 例2. 如图,在四边形ABCD中,AB=AD,BC=DC,E、F分别为AB、AD的中点.求证:EC=FC. 训练点二：作垂线法 例3.【三垂直模型】(2022辽宁沈阳期中,19,★★☆)如图,在平面直角坐标系中,点 B的坐标为(3,1),AB=OB,∠ABO=90°,求点A的坐标. 例4.【对角互补模型】已知凸四边形ABCD中,∠ABC+∠ADC=180°,AC平分∠BAD,过C作AB的垂线交AB于点E,求证:AE=(AB+AD). 训练点三：倍长中线法 例5.如图,D是△ABC的BC边上一点且CD=AB,∠BDA=∠BAD,AE是△ABD的中线. 求证:∠C=∠BAE. 例6.如图,在△ABC中,D为BC的中点. (1)求证:AB+AC>2AD; (2)若AB=5,AC=3,求AD的取值范围. 训练点四：截长补短法 截长法:在长线段上截取一条线段,使其等于一条短线段,然后证明剩下的线段等于另一条短线段. 补短法:延长短线段,使延长部分等于另一条短线段,然后证明延长后的线段等于长线段(或延长短线段,使延长后的线段等于长线段,然后证明延长部分等于另一条短线段). 例7.如图,四边形ABDC中,AC∥BD,点E在CD上,AE平分∠CAB,BE平分∠DBA. 求证: (1)AB=AC+BD; (2)AE⊥BE. 截长法: 补短法: 考点二：全等三角形中常见的4种模型 训练点一：手拉手模型 例8.在△ABC中,AB=AC,D是边BC上一点,点E在AD的右侧,线段AE=AD,且∠DAE=∠BAC.求证:BD=CE. 例9.如图,∠BAE=∠CAF=90°,EC、BF相交于点M,AE=AB,AC=AF. (1)求证:EC=BF; (2)求证:EC⊥BF; (3)若将条件“∠BAE=∠CAF=90°”改为“∠BAE=∠CAF=m°”,则(1)(2)中的两个结论还成立吗?请说明理由. 训练点二：一线三等角模型 模型归纳　一线三等角 条件:A、P、B三点共线,且∠1=∠2=∠3,如图.   (点P在线段AB上) (点P在线段AB的延长线上) 结论:当AC=BP或AP=BD或CP=PD，△CAP≌△PBD. 例10.如图,在△ABC中,∠C=∠B=∠EDF=50°,DE=DF,求证:(1)△BED≌△CDF; (2)BC=BE+CF. 训练点三：半角模型 例11.如图,在四边形ABDC中,∠BDC=120°,∠ABD= ∠ACD=90°,BD=CD,以D为顶点作一个度数为60°的角,它的两边交AB于M,交AC于N,连接MN,求证:MN=BM+CN. 训练点四：动点模型 例12.【分类讨论思想】如图,△ABC中,∠B=∠C,AB=4厘米,BC=3厘米,点D为AB的中点.如果点P在线段BC上以每秒1厘米的速度由点B向点C运动,同时,点Q在线段CA上以每秒a厘米的速度由点C向点A运动,设运动时间为t秒. (1)用含t的式子表示PC的长度:　　　    ; (2)若点P,Q的运动速度相等,1秒后,△BPD与△CQP是否全等?请说明理由; (3)若点P,Q的运动速度不相等,当点Q的运动速度为多少时,△BPD可以与△CQP 全等? 随堂检测： 1.【类比思想】(2023江苏南京秦淮外国语学校月考,23,★★☆)在△ABC中,AB=AC,D,A,E三点都在直线m上,且DE=9 cm,∠BDA=∠AEC=∠BAC. (1)如图①,若AB⊥AC,则BD与AE的数量关系为　　　     ,CE与AD的数量关系为 ; (2)如图②,判断并说明线段BD,CE与DE的数量关系; (3)如图③,若只保持D,A,E三点都在直线m上, ∠BDA=∠AEC，DE=9 cm,增加条件:BD=EF=7 cm,点A在线段DE上以2 cm/s的速度由点D向点E运动,同时,点C在线段EF上以x cm/s的速度由点E向点F运动,它们运动的时间为t s.是否存在某一时刻,使△ABD与△EAC全等?若存在,求出相应的t和x的值;若不存在,请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $$