第4章 第4节 第1课时 导数与不等式(教师课件)-【名师大课堂】2024年新高考数学艺术生总复习必备

第四章　导数及其应用 第四节　导数的综合应用 第一课时　导数与不等式 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 01 基础知识必备 02 考点知能突破 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 谢 谢 观 看 按ESC键退出全屏播放 第四章　导数及其应用 返回导航 下一页 上一页 考点一　导数法证明不等式 已知函数f(x)＝x ln x－2x. (1)求f(x)的单调区间、极值； (2)若x>y>0，试确定f(x)－f(y)与x ln y－y ln x的大小关系，并给出证明． 【解】　(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1－2＝ln x－1， 令f′(x)＝0得x＝e. 将x，f′(x)，f(x)变化情况列表： x (0，e) e (e，＋∞) f′(x) － 0 ＋ f(x)  极小值  可得(0，e)是f′(x)的递减区间， (e，＋∞)是f(x)的递增区间，f′(x)在x＝e处有极小值－e，无极大值． (2)f(x)－f(y)>x ln y－y ln x．证明如下： [f(x)－f(y)]－(x ln y－y ln x) ＝x ln x－2x－y ln y＋2y－x ln y＋y ln x ＝x ln eq \f(x,y) ＋y ln eq \f(x,y) －2(x－y) ＝y eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(x,y)ln \f(x,y)＋ln \f(x,y)－2(\f(x,y)－1))) .(*) 设t＝ eq \f(x,y) >1，Q(t)＝t ln t＋ln t－2(t－1)(t＞1)， 则Q′(t)＝ln t＋1＋ eq \f(1,t) －2＝ln t＋ eq \f(1,t) －1(>1). 设M(t)＝ln t＋ eq \f(1,t) －1(t>1)， 则M′(t)＝ eq \f(1,t) － eq \f(1,t2) ＝ eq \f(t－1,t2) >0(t>1) . 所以M(t)在(1，＋∞)上是递增函数． 所以M(t)>M(1)＝0，即Q′(t)>0. 所以Q(t)在(1，＋∞)上是递增函数． 所以Q(t)>Q(1)＝0. 又y>0，所以(*)＞0， 所以f(x)－f(y)>x ln y－y ln x． 利用导数证明不等式的方法 (1)构造法：证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，如果F′(x)<0，则F(x)在(a，b)上是减函数，则只需F(a)≤0，由减函数的定义可知，x∈(a，b)时，有F(x)<0，即证明了f(x)<g(x). (2)最值比较法：证明f(x)<g(x)，x∈(a，b)时，若构造函数F(x)＝f(x)－g(x)后，F(x)的单调性无法确定，可考虑f(x)的最大值与g(x)的最小值，如