圆锥曲线专题：焦点三角形学案-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

圆锥曲线复习专题：焦点三角形 1、 学习目标 1.掌握椭圆与双曲线中焦点三角形的周长公式 2.掌握椭圆与双曲线中焦点三角形的面积公式 3.熟悉椭圆与双曲线中焦点三角形与离心率的关系 4.掌握椭圆与双曲线的焦点三角形顶角余弦定理与第一定义的综合应用 5.掌握焦点三角形中两条焦半径之积和数量积的范围 6.了解焦点三角形中内切圆的问题 二、典例分析 1.椭圆与双曲线中焦点三角形的周长 例1.若椭圆（其中a＞b＞0）的离心率为，两焦点分别为F1，F2，M为椭圆上一点，且△F1F2M的周长为16，则椭圆C的方程为（　　） A． B． C． D． 例2.已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，在左支上过F1的弦AB的长为5，若2a＝8，那么△ABF2的周长是（ ） A． B． C． D． 归纳小结： 椭圆焦点三角形的周长 双曲线焦点三角形周长：过焦点的弦的长为，则的周长为. 2.椭圆与双曲线中焦点三角形的面积 例3.已知椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，且，若的面积为16，则__________． 例4.设是双曲线的两个焦点，为坐标原点，点在上且，则的面积为 ( ) A. B.3 C. D.2 归纳小结： 椭圆焦点三角形的面积为：. 双曲线焦点三角形的面积，记，则的面积 3.椭圆中焦点三角形顶角的讨论 例5.已知分别是椭圆的左、右焦点，若椭圆上存在点，使，则椭圆的离心率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 归纳小结： ①设、是椭圆的左、右焦点，P是椭圆C上的一个动点，则当P为短轴端点时，最大. ②S＝|PF1||PF2|sin θ＝c|y0|，当|y0|＝b，即点P为短轴端点时，S取得最大值，最大值为bc； 4. 焦点三角形与离心率 例6.已知，是双曲线E：的左、右焦点，点M在E上，与x轴垂直，，则双曲线E的离心率为　　 A． B． C．2 D．3 归纳小结： 椭圆中的离心率 双曲线中的离心率 5.焦点三角形中的焦半径 例7.已知双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线的右支上，若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 归纳小结： 椭圆焦点三角形中焦半径 设是椭圆上一点，那么，， .进一步，有 ，由于,故我们有 双曲线中焦点三角形中焦半径 6.焦点三角形中的内切圆 例8.椭圆的左，右焦点为，且，点P是椭圆C上异于左、右端点的一点，若M是的内心，且，则实数（    ） A． B． C． D． 归纳小结： 椭圆中假设焦点的内切圆半径为，则. 双曲线中，焦点三角形的内心的轨迹方程为. 学科网（北京）股份有限公司 $$