第2课时求圆锥曲线的最值问题专题训练-2024届新高考高三数学解析几何专题3

专题三 圆锥曲线中的取值范围和最值问题 第2课时 求圆锥曲线的最值问题 第一部分 真题再现 【例1】(2023年全国甲卷理科)已知直线与抛物线交于两点，且． (1)求； (2)设F为C的焦点，M，N为C上两点，，求面积的最小值． 【跟踪练习】(2022年浙江省高考数学试题)如图，已知椭圆．设A，B是椭圆上异于的两点，且点在线段上，直线分别交直线于C，D两点． (1)求点P到椭圆上点的距离的最大值； (2)求的最小值． ． 【例2】（2022年高考全国甲卷数学(理))设抛物线焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C另一个交点分别为A，B，记直线的倾斜角分别为．当取得最大值时，求直线AB的方程． 【跟踪练习】如图，已知点为抛物线的焦点，过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线上，使得的重心G在x轴上，直线AC交x轴于点Q，且Q在点F的右侧．记的面积分别为． （1）求p的值及抛物线的准线方程； （2）求的最小值及此时点G的坐标． 第二部分 强化训练 1、已知椭圆的左顶点为，离心率为． （1）求椭圆C的方程； （2）过点的直线l交椭圆C于A，B两点，当取得最大值时，求的面积． 2、已知椭圆C：过点M(2，3),点A为其左顶点，且AM的斜率为 ， (1)求C的方程； (2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值． 3.如图,已知抛物线,点,,抛物线上的点 ．过点B作直线AP的垂线,垂足为． (1)求直线斜率的取值范围; (2)求的最大值． 4.已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为． (1)求； (2)若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值． ． 5、如图，已知椭圆，抛物线，点A是椭圆与抛物线的交点，过点A的直线l交椭圆于点B，交抛物线于M(B，M不同于A)． (1)若，求抛物线的焦点坐标； (2)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值． 6、已知点A(−2，0)，B(2，0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为−.记M的轨迹为曲线C. （1）求C的方程，并说明C是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G. （i）证明：是直角三角形； （ii）求面积的最大值. 7、如图，已知点为抛物线的焦点．过点的直线交抛物线于，两点，点在抛物线上，使得的重心在轴上，直线交轴于点，且在点的右侧，记，的面积分别为，． (1)求的值及抛物线的准线方程； (2)求的最小值及此时点的坐标． 8、已知椭圆上两个不同的点，关于直线对称． (1)求实数的取值范围； (2)求面积的最大值(为坐标原点)． 9、已知点,椭圆:的离心率为,是椭圆的焦点,直线的斜率为,为坐标原点． (1)求的方程; (2)设过点的直线与相交于两点,当的面积最大时,求的方程． 10、平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别是，以为圆心以3为半径的圆与以为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆上． (1)求椭圆的方程； (2)设椭圆，为椭圆上任意一点，过点的直线交椭圆 于两点，射线 交椭圆于点． (i)求的值； (Ⅱ)求面积的最大值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题三 圆锥曲线中的取值范围和最值问题 第2课时 求圆锥曲线的最值问题 第一部分 真题再现 【例1】【解析】：(1)设， 由可得，，所以， 所以， 即，因为，解得：． (2)因为，显然直线的斜率不可能为零， 设直线：，， 由可得，，所以，， ， 因为，所以， 即， 亦即， 将代入得， ，， 所以，且，解得或． 设点到直线的距离为，所以， ， 所以的面积， 而或，所以， 当时，的面积． 【跟踪练习】【解析】:(1)设是椭圆上任意一点,,则 ，当且仅当时取等号，故的最大值是． (2)设直线,直线方程与椭圆联立,可得,设，所以，因为直线与直线交于,则,同理可得,．则 ， 当且仅当时取等号，故的最小值为． 【例2】【解析】(1)抛物线的准线为，当与x轴垂直时，点M的横坐标为p， 此时，所以，所以抛物线C的方程为； (2)设，直线， 由可得，， 由斜率公式可得，， 直线，代入抛物线方程可得， ，所以，同理可得， 所以 又因为直线MN、AB的倾斜角分别为，所以， 若要使最大，则， 设，则， 当且仅当即时，等号成立， 所以当最大时，，设直线， 代入抛物线方程可得，，所以， 所以直线． 【跟踪练习】【解析】（1）由题意得，即p=2. 所以，抛物线的准线方程为x=−1. （2）设，重心.令，则. 由于直线AB过F，故直线AB方程为，代入，得 ， 故，即，所以. 又由于及重心G在x轴上，故，得. 所以，直线AC方程