第1课时求圆锥曲线中的取值范围专题训练-2024届新高考高三数学解析几何专题3

专题三 圆锥曲线中的取值范围和最值问题 核心知识必刷 1、核心能力要求 (1)知识关: 要熟练掌握点到直线距离公式、根的判别式、根与系数的关系、圆锥曲线的弦长公式、基本不等式、 函数及其导数等主流知识. (2)方法关: 求取值范围时，主要有判别式法求范围、解不等式求范围、利用函数值域求范围等多种方法.求最值时， 主要有基本不等式求最值、配方法求最值、导数求最值三种方法. (3)步骤关: 圆锥曲线中的最值问题和取值范围问题虽然复杂，难解决，但也有规律可循.如在表示某个三角形的面 积和求边长时，往往会用到圆锥曲线的弦长公式，这就意味着前面有联立直线与圆锥曲线的方程，消元， 设交点坐标，利用根与系数的关系来表示等一系列很讲顺序的步骤.掌握好了这些基本步骤， 慢慢就会体会到其中的解题规律和方法，从而感觉到越做越顺，越做越有感觉. 2、 命题特点分析 圆锥曲线中的取值范围和最值问题往往集合了解析几何、不等式、函数及其导数等多方面的知识和方法，因此，圆锥曲线中的这类问题大部分以中、高档题，甚至压轴题的形式出现，具有所涉及的知识点多、计算量大、步骤多且复杂等特点. 第1课时 求圆锥曲线中的取值范围 第一部分 真题再现 题型一：用二次函数或均值不等式求解 【例1】（2023年上海卷）曲线Γ:y²=4x,第一象限内点 A在Γ上,A的纵坐标是a. *(1)若A到准线距离为3,求a; **(2)若a=4,B在x轴上,AB中点在Γ上,求点B坐标和坐标原点O到AB距离; ***(3)直线l:x=-3,令P是第一象限Γ上异于A的一点,直线PA交直线l于Q, H是P在直线l上的投影，若点 A 满足“对于任意 P 都有”，求a的取值范围. 【跟踪练习】设圆的圆心为，直线过点且与轴不重合，交圆于两点，过作的平行线交于点． **(1)证明为定值，并写出点E的轨迹方程； ***(2)设点的轨迹为曲线，直线交于两点，过且与垂直的直线与圆交于两点，求四边形面积的取值范围． 题型二：用导数求解 【例2】(2023年新课标全国Ⅰ卷)在直角坐标系中，点到轴的距离等于点到点的距离，记动点的轨迹为． **(1)求的方程； ****(2)已知矩形有三个顶点在上，证明：矩形的周长大于． 【跟踪练习】已知椭圆C:=1(a>b>0)的右焦点为F(1,0),上、下顶点分别为B1,B2,以点F为圆心,以线段FB1的长为半径作圆与x轴交于点M(3,0),过点M作x轴的垂线l,点T为l上的动点,过点T作直线l1交椭圆C于P,Q两点. **(1)求椭圆C的方程; ***(2)当∠B1TB2取到最大值时,求·(O为坐标原点)的取值范围. 第二部分 强化练习 1、如图，设椭圆． **(1)求直线被椭圆截得的线段长(用表示)； ***(2)若任意以点为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点，求椭圆离心率的取值范围． 2、已知椭圆一个顶 点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为． **(1)求椭圆E的方程； ***(2)过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交y=-3交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围． 3、设椭圆的右焦点为，右顶点为．已知，其中为原点，为椭圆的离心率． **(1)求椭圆的方程； ***(2)设过点的直线与椭圆交于点(不在轴上)，垂直于的直线与交于点，与轴交于点．若，且，求直线的斜率的取值范围． 4、已知椭圆E:的焦点在轴上，A是E的左顶点，斜率为的直线交E于两点，点N在E上，． **(1)当，时，求的面积； ****(2)当时，求k的取值范围． 5、如图，已知F是抛物线的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且， **(1)求抛物线的方程； ***(2)设过点F的直线交抛物线与A､B两点，斜率为2的直线l与直线，x轴依次交于点P，Q，R，N，且，求直线l在x轴上截距的范围． 6、在平面直角坐标系中，点到点的距离比它到轴的距离多1，记点的轨迹为． **(1)求轨迹为的方程； ***(2)设斜率为的直线过定点，求直线与轨迹恰好有一个公共点、两个公共点、 三个公共点时的相应取值范围． 7、如图，在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线． **(1)若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程； (2)已知抛物线上存在关于直线对称的相异两点和． *** ①求证：线段上的中点坐标为； *** ②求的取值范围． 8、如图，已知点是轴左侧(不含轴)一点，抛物线上存在不同的两点满足的中点均在上． **(1)设中点为，证明：垂直于轴； ***(2)若是半椭圆上的动点，求面积的取值范围． 9、已知椭圆的左焦点为,离心率为，点在椭圆上且位于第一象限，直线被圆截得的线段的长为c，． **(1)求直线的斜率； ***(2)求椭圆的方