专题1.9 线段垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）
专题1.9 线段垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解）
【知识点一】线段垂直平分线性质定理
- 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等.
条件：点在线段的垂直平分线上.
结论：在这个点到线段的两个端点的距离相等.
- 几何语言：如图 ∵AD⊥BC于D，BD=CD，∴AB=AC.
- 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的联系与区别
联系：两者都可以直接得到两条线段相等.
区别：前者指的是点到点的距离，后者指的是点到直线的距离.
特别提醒
1.线段的垂直平分线的性质中的“距离”是“该点与这条线段两个端点的距离”
2.用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法.
【知识点二】线段垂直平分线的判定定理
1.判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.
条件：点到线段两个端点距离相等.
结论：点在线段的垂直平分线上.
- 几何语言 ∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上.
特别提醒
用定义法证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是做垂直，证平分；二是取中点，
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证垂直.
用判定定理证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在线段的垂直平分线上.
【知识点三】三角形三条边的垂直平分线的性质定理
性质定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等.
符号语言:
∵直线MN，EF，PQ分别垂直平分BC,AB,AC,
∴直线MN，EF，PQ相交于一点O，且OA=OB=OC.
特别解读
因为三角形任意两条边的垂直平分线一定交于一点，所以要证明三角形三条边的垂直平分线的性质，只要证明这个交点在第三条边的垂直平分线上即可.该性质综合了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，是这两个定理的升华，同时也给出了判定三线共点的一种特殊方法.‘’
【知识点四】用尺规作已知直线（或线段）的垂线
已知、求作 | 作法 |
已知：如图，线段a，h 求作：△ABC，使AB=AC,BC=a高AD=h
| （1）如图，作线段BC=a （2）做线段BC的垂直平分线l，交 BC于点D. （3）在l上作线段DA，使DA=h. （4）链接AB,AC. △ABC为所求做的等腰三角形.
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已知：如图，直线l和l上一点p. 求作：直线l的垂线，使它过点P
| （1）如图，以点p为圆心，适当长 为半径作弧，交直线l于点A,B. （2）做线段AB垂直平分线m， 直线m为所求作的垂线.
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已知：如图，直线l和l外的一点p. 求作：直线l的垂线，使它过点p.
| （1）如图，以点p为圆心，适当长 为半径画弧，交直线l于点A,B. （2）做线段AB的垂直平分线m， 直线m为所求作的垂线.
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特别提醒
作图题的一般思路:
1.假设所求做的图形已作出，画出草图；
2.在草图上标出已知的边、角的对应位置及规定的交点字母；
3.从草图中找出可作的基本图形，确定作图顺序；
4.按确定的顺序作出所求做的图形.
【考点目录】
【线段垂直平分线的性质】
【考点1】利用线段垂直平分线的性质求值；
【考点2】利用线段垂直平分线的性质证明；
【线段垂直平分线的判定】
【考点3】利用线段垂直平分线的判定证明和求值；
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