专题1.9 线段垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.9 线段垂直平分线（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】线段垂直平分线性质定理 1. 性质定理 线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等. 条件：点在线段的垂直平分线上. 结论：在这个点到线段的两个端点的距离相等. 2. 几何语言：如图 ∵AD⊥BC于D，BD=CD，∴AB=AC. 3. 线段垂直平分线的性质与角平分线的性质的联系与区别 联系：两者都可以直接得到两条线段相等. 区别：前者指的是点到点的距离，后者指的是点到直线的距离. 特别提醒 1.线段的垂直平分线的性质中的“距离”是“该点与这条线段两个端点的距离” 2.用线段的垂直平分线的性质可直接证明线段相等，不必再用三角形全等来证明，因此它为证明线段相等提供了新方法. 【知识点二】线段垂直平分线的判定定理 1.判定定理 到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上. 条件：点到线段两个端点距离相等. 结论：点在线段的垂直平分线上. 2. 几何语言 ∵AB=AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上. 特别提醒 用定义法证明一个点在一条线段的垂直平分线上，思路有两种：一是做垂直，证平分；二是取中点，证垂直. 用判定定理证明线段的垂直平分线，必须证明两个点在线段的垂直平分线上. 【知识点三】三角形三条边的垂直平分线的性质定理 性质定理 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. 符号语言: ∵直线MN，EF，PQ分别垂直平分BC,AB,AC, ∴直线MN，EF，PQ相交于一点O，且OA=OB=OC. 特别解读 因为三角形任意两条边的垂直平分线一定交于一点，所以要证明三角形三条边的垂直平分线的性质，只要证明这个交点在第三条边的垂直平分线上即可.该性质综合了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，是这两个定理的升华，同时也给出了判定三线共点的一种特殊方法.‘’ 【知识点四】用尺规作已知直线（或线段）的垂线 已知、求作 作法 已知：如图，线段a，h 求作：△ABC，使AB=AC,BC=a高AD=h （1）如图，作线段BC=a （2） 做线段BC的垂直平分线l，交 BC于点D. （3） 在l上作线段DA，使DA=h. （4） 链接AB,AC. △ABC为所求做的等腰三角形. 已知：如图，直线l和l上一点p. 求作：直线l的垂线，使它过点P （1） 如图，以点p为圆心，适当长 为半径作弧，交直线l于点A,B. （2） 做线段AB垂直平分线m， 直线m为所求作的垂线. 已知：如图，直线l和l外的一点p. 求作：直线l的垂线，使它过点p. （1） 如图，以点p为圆心，适当长 为半径画弧，交直线l于点A,B. （2） 做线段AB的垂直平分线m， 直线m为所求作的垂线. 特别提醒 作图题的一般思路: 1.假设所求做的图形已作出，画出草图； 2.在草图上标出已知的边、角的对应位置及规定的交点字母； 3.从草图中找出可作的基本图形，确定作图顺序； 4.按确定的顺序作出所求做的图形. 【考点目录】 【线段垂直平分线的性质】 【考点1】利用线段垂直平分线的性质求值； 【考点2】利用线段垂直平分线的性质证明； 【线段垂直平分线的判定】 【考点3】利用线段垂直平分线的判定证明和求值； 【线段垂直平分线的性质与判定】 【考点4】利用线段垂直平分线性质与判定求值； 【考点5】利用线段垂直平分线的性质与判定证明； 【用线段垂直平分线性质与判定作图】 【考点6】利用用线段垂直平分线性质与判定作图. 【线段垂直平分线的性质】 【线段垂直平分线的性质】 【考点1】利用线段垂直平分线的性质求值； 【例1】（2024上·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，在中，，是的垂直平分线，交于N． （1）若，求的度数． （2）连接，若，的周长是．求的长． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质和三角形内角和定理， （1）根据等腰三角形的性质得出，求得，根据线段的垂直平分线的性质得出，进而得出，利用三角形内角和定理可求得； （2）根据的周长为即可求得． （1）解：∵， ∴， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵的周长是． ∴． 【变式1】（2024上·甘肃平凉·八年级统考期末）如图，在中，，的垂直平分线交于点E，交于点D，且cm，则的长是（    ） A．12cm B．6cm C．4cm D． 【答案】B 【分析】本题考查线段的垂直平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质．利用线段垂直平分线的性质得